Fazendo um bayesiano antes de um resultado freqüentista

Como se deve transformar um resultado freqüentista em um prior bayesiano?

Considere o seguinte cenário bastante genérico: Um experimento foi realizado no passado e um resultado em algum parâmetro foi medido. A análise foi realizada com uma metodologia frequentista. Um intervalo de confiança para ϕ é dado nos resultados.$\phi$$\phi$

Agora estou conduzindo um novo experimento em que quero medir outros parâmetros, digamos, e ϕ . Meu experimento é diferente do estudo anterior - não é realizado com a mesma metodologia. Eu gostaria de fazer uma análise bayesiana e, portanto, precisarei colocar anteriores em θ e ϕ .$\theta$$\phi$$\theta$$\phi$

Nenhuma medida anterior de foi realizada, então eu coloco um não informativo (digamos, seu uniforme) antes dele. $\theta$

Como mencionado, existe um resultado anterior para , dado como um intervalo de confiança. Para usar esse resultado em minha análise atual, eu precisaria traduzir o resultado freqüentador anterior em um informativo prévio para minha análise. $\phi$

Uma opção que não está disponível neste cenário composta é a repetição da análise anterior que levou à medição de forma Bayesian. Se eu pudesse fazer isso, φ teria um posterior da experiência anterior que eu usaria então como o meu antes, e não haveria nenhum problema.$\phi$ $\phi$

Como devo traduzir o IC freqüentista em uma distribuição Bayesiana prévia para minha análise? Ou, em outras palavras, como eu poderia traduzir o resultado mais frequente em para um posterior ϕ que eu usaria como prior na minha análise?$\phi$$\phi$

Quaisquer informações ou referências que discutam esse tipo de problema são bem-vindas.

Versão curta: Pegue um gaussiano centrado na estimativa anterior, com std. dev. igual ao IC.

Versão longa: Let ser o verdadeiro valor do parâmetro, e deixe φ a estimativa de que você tem. Suponha um uniforme a priori antes de P ( ϕ ) = c t . Você quer saber a distribuição de φ 0 , dado que uma estimativa $\phi_0$$\hat \phi$$P(\phi)=ct$$\phi_0$$\hat \phi$ já foi obtido:

Agora, a única dependênciaφ0é o termoP( φ |& Phi0), o resto é uma constante de normalização. Assumindo que o φ é um estimador da probabilidade máxima (ou algum outro estimador consistente), podemos usar os seguintes factos:

1. À medida que o número de observações aumenta, o MLE é assintoticamente gaussiano,
2. É assintoticamente imparcial (centrado no valor verdadeiro ),$\phi_0$
3. $\phi_0$

Outra maneira de dizer: o posterior bayesiano e a distribuição de um estimador consistente e eficiente tornam-se assintoticamente iguais.

Depende. Em alguns casos simples, com dados normalmente distribuídos, quando você tem um intervalo de confiança freqüente com base no$t$-distribuição, o marginal posterior correspondente de uma análise bayesiana seria um aluno transferido e redimensionado $t$-distribuição com quantis correspondentes aos limites de confiança freqüentadores, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution#Bayesian_inference . Da mesma forma, se você tiver um intervalo de confiança freqüentista para algum parâmetro de variação$\sigma^2$ derivado através da distribuição qui-quadrado de uma quantidade crucial como $S^2(n-p)/\sigma^2$, o correspondente marginal bayesiano posterior seria um "qui-quadrado redimensionado inverso" (uma distribuição gama inversa), novamente com quantis que correspondem aos limites de confiança freqüentes (desde que a escala não informativa anterior $\propto 1/\sigma^2$ é usado).