Processos gaussianos no domínio wavelet: qual é a covariância?

Eu tenho lido Maraun et al , "Processos Gaussianos não estacionários no domínio wavelet: síntese, estimativa e testes significativos" (2007) que definem uma classe de GPs não estacionários que podem ser especificados por multiplicadores no domínio wavelet. A realização de um desses GP é: onde é ruído branco, é a transformada de wavelet contínua em relação à wavelet , é o multiplicador (tipo como de um coeficiente de Fourier) com escala de e de tempo , e é o inverso transformada wavelet com reconstrução wavelet .

s (t) = M_{h} m (b, uma) W_{g} η (t),

$s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, ,$

η (t)

$\eta(t)$

W_{g}

$W_g$

g

$g$

m (b, a)

$m(b,a)$

a

$a$

b

$b$

M_{h}

$M_h$

h

$h$

Um resultado importante do estudo é que, se os multiplicadores alterar apenas lentamente, em seguida, a realização si só são "fracamente" dependente das escolhas reais de e . Assim especifica o processo. Eles criam alguns testes significativos para ajudar a inferir os multiplicadores de wavelets com base nas realizações. $m(b,a)$ $g$ $h$ $m(b,a)$

Duas questões:

1. Como avaliamos a probabilidade padrão de GP, que é ? $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$

Eu acho que estamos efetivamente fazendo uma mudança de coordenadas, então onde são as wavelets e é a matriz (diagonal?) De coeficientes de wavelet . No entanto, eles usam um CWT não ortonormal, então não sei se isso está correto. $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ $W$ $M$ $m(a,b)$

2. Como esse GP do domínio wavelet pode ser relacionado a um GP do espaço real ? Especificamente, podemos calcular um kernel do espaço real (não estacionário) de ? $k$ $m(a,b)$

Para comparação, o núcleo de um processo Gaussiano estacionário é o dual de Fourier de sua densidade espectral (teorema de Bochner, veja capítulo 4 de Rasmussen) - o que fornece uma maneira fácil de alternar entre um GP no espaço real e um no espaço de frequência. Aqui estou perguntando se existe tal relacionamento no domínio wavelet.

normal-distribution stochastic-processes gaussian-process fourier-transform wavelet cgreen
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K_{g, h} (b - b / a, a / a) = W_{g, h} (b - b / a)

$K_{g,h}(b−b/a,a/a)=W_{g,h}(b−b/a)$

Respostas:

O processo de condução, ruído branco η (t), é independente da escolha da base. Em um CWT (diferente do DWT pulando nas oitavas), há alguma redundância, as bandas de ondas estreitas se sobrepõem. O "recurso" que está sendo testado quanto à significância é uma variação (potência) observada em uma frequência estreita em um curto período de tempo. Isso claramente depende matematicamente da wavelet escolhida, mas não muito - a largura de banda mais estreita pode detectar recursos que mudam mais lentamente com maior sensibilidade, a largura de banda maior é mais responsiva, mas possui um fundo mais ruidoso e é menos específica.

Como isso mede o espaço da wavelet, é integrado ao longo da duração da wavelet, a transformação que você escreveu seria para qualquer "ponto no tempo". Geralmente é necessário informações de fase para inverter o CWT. O teste de Maraun é essencialmente qui-quadrado no poder.
Não. Maraun depende do sinal para o ruído em uma banda de frequência em um intervalo de tempo, isso pode ter muitas realizações diferentes no espaço de ruído e é independente de fase. É sensível a um sinal AR (1) no domínio wavelet em uma frequência específica, ou seja, oscilação sustentada ao longo do tempo, por exemplo, o domínio CWT tenderá a suprimir um pico isolado no ruído da banda larga.

James Prichard
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