Estou tentando encontrar a probabilidade de obter 8 tentativas consecutivas corretas em um bloco de 25 tentativas, você tem 8 bloqueios totais (de 25 tentativas) para obter 8 tentativas corretas consecutivas. A probabilidade de acertar qualquer tentativa com base em adivinhação é 1/3, depois de corrigir 8 em linha, os blocos terminam (portanto, tecnicamente, não é possível obter mais de 8 em linha). Como eu iria encontrar a probabilidade de isso ocorrer? Eu tenho pensado ao longo das linhas de usar (1/3) ^ 8 como a probabilidade de obter 8 em linha correta, existem 17 chances possíveis de obter 8 em linha em um bloco de 25 tentativas, se eu multiplicar 17 possibilidades * 8 blocos que recebo 136, 1- (1- (1/3) ^ 8) ^ 136 me daria a probabilidade de obter 8 em linha correta nesta situação ou estou perdendo algo fundamental aqui?
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Respostas:
Ao acompanhar as coisas, você pode obter uma fórmula exata .
Deixep=1/3 a probabilidade de sucesso e k=8 ser o número de sucessos em uma linha você deseja contar. Eles foram corrigidos para o problema. Os valores variáveis são m , o número de tentativas restantes no bloco; e j , o número de sucessos sucessivos já observados. Deixe a chance de, eventualmente, alcançar k sucessos seguidos antes que m tentativas sejam esgotadas, seja escrita fp,k(j,m) . Procuramos f1/3,8(0,25) .
Suponha que acabamos de ver nossojth sucesso em uma linha com m>0 ensaios de ir. O próximo julgamento é um sucesso, com probabilidade p - nesse caso, j é aumentado para j+1 -; ou então é uma falha, com probabilidade 1−p - nesse caso j é redefinido para 0 . Nos dois casos, m diminui em 1 . De onde
Como condições iniciais, temos os resultados óbvios para m ≥ 0 ( isto é , já vimos k em uma linha) ef p , k ( j , m ) = 0 para k - j > m ( ou seja , não há testes suficientes para obter kfp,k(k,m)=1 m≥0 k fp,k(j,m)=0 k−j>m k seguidas). Agora é rápido e direto (usando programação dinâmica ou, porque os parâmetros deste problema são muito pequenos, recursão) calcular
Quando esta rendimentos 80897 / 43046721 ≈ 0,0018793p=1/3 80897/43046721≈0.0018793 .
Um
R
código relativamente rápido para simular isso éApós 3 segundos de cálculo, a saída é . Embora isso pareça alto, são apenas 1,7 erros padrão desativados. Executei outras 10 6 iterações, produzindo 0,001867 : apenas 0,3 erros padrão abaixo do esperado. (Como checagem dupla, como uma versão anterior desse código tinha um bug sutil, também executei 400.000 iterações no Mathematica, obtendo uma estimativa de 0,00184750.00213 106 0.001867 0.3 0.0018475 .)
Este resultado é menos do que um décimo da estimativa de em questão. Mas talvez eu não tenha entendido integralmente lo: uma outra interpretação de "você tem 8 total de blocos ... para obter 8 ensaios corrigir em uma linha" é que o ser resposta procurada iguais 1 - ( 1 - f 1 / 3 , 8 ( 0 , 25 ) ) 8 ) = 0,0149358 ... .1−(1−(1/3)8)136≈0.0205 1−(1−f1/3,8(0,25))8)=0.0149358...
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Embora a excelente solução de programação dinâmica da @ whuber valha a pena ser lida, seu tempo de execução éO(k2m) with respect to total number of trials m and the desired trial length k whereas the matrix exponentiation method is O(k3log(m)) . If m is much larger than k , the following method is faster.
Ambas as soluções consideram o problema como uma cadeia de Markov com estados representando o número de tentativas corretas no final da cadeia até agora e um estado para alcançar as tentativas corretas desejadas seguidas. A matriz de transição é tal que ver uma falha com probabilidade envia de volta ao estado 0 e, caso contrário, com a probabilidade 1 - p avança para o próximo estado (o estado final é um estado absorvente). Ao elevar esta matriz para o n ° de potência, o valor na primeira fila, e a última coluna é a probabilidade de ver k = 8 cabeças em uma fileira. Em Python:p 1−p n k=8
produz 0,00187928367413 conforme desejado.
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De acordo com esta resposta , explicarei um pouco mais a abordagem de Markov-Chain por @Neil G e fornecerei uma solução geral para esses problemask n W F k+1
R
. Vamos denotar o número desejado de tentativas corretas seguidas de , o número de tentativas como ne uma tentativa correta de W (vitória) e uma tentativa incorreta de F (falha). No processo de acompanhar as tentativas, você deseja saber se você já teve uma sequência de 8 tentativas corretas e o número de tentativas corretas no final de sua sequência atual. Existem 9 estados ( k + 1 ):: Ainda não tivemos 8 tentativas corretas seguidas, e a última foi FA 8 F .
The probability of moving to stateB from state A is p=1/3 and with probability 1−p=2/3 we stay in state A . From state B , the probability of moving to state C is 1/3 and with probability 2/3 we move back to A . And so on. If we are in state I , we stay there.
From this, we can construct a9×9 transition matrix M (as each column of M sums to 1 and all entries are positive, M is called a left stochastic matrix):
Each column and row corresponds to one state. Aftern trials, the entries of Mn give the probability of getting from state j (column) to state i (row) in n trials. The rightmost column corresponds to the state I and the only entry is 1 in the right lower corner. This means that once we are in state I , the probability to stay in I is 1 . We are interested in the probability of getting to state I from state A in n=25 steps which corresponds to the lower left entry of M25 (i.e. M2591 ). All we have to do now is calculating M25 . We can do that in
R
with the matrix power function from theexpm
package:The probability of getting from stateA to state I in 25 steps is 0.001879284 , as established by the other answers.
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Here is some R code that I wrote to simulate this:
I am getting values a little smaller than your formula, so one of us may have made a mistake somewhere.
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Here is a Mathematica simulation for the Markov chain approach, note that Mathematica indexes by1 not 0 :
This would yield the analytical answer:
Evaluating atp=1.03.0
Will return0.00187928
This can also be evaluated directly using builtin
Probability
andDiscreteMarkovProcess
Mathematica functions:Which will get us the same answer:0.00187928
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