R ao quadrado e regressão polinomial de ordem superior

O gráfico abaixo mostra a saturação de uma estrada em relação ao impacto no tempo de viagem (normalizado para o tempo de viagem de fluxo livre).

A curva azul (função BPR) apresenta um modelo padronizado usado em campo para relacionar o tempo de viagem e a saturação.

Para os dados empíricos que reuni, plotei um ajuste polinomial de terceira ordem, mostrado em vermelho. Para avaliar este ajuste, eu encontrei a $R^2$ para esta terceira ajuste ordem. Isso foi dado como 0,72.

Falei com um colega sobre $R^2$ e ele me apontou para este artigo. Por que não existe um quadrado R para regressão não linear?

Eu encontrei muitos artigos foram $R^2$ é usado para avaliar a adequação de um polinômio de ordem superior e agora estou um pouco confuso.

É $R^2$ impróprio neste caso? O que devo usar?

Considere um polinômio:

$$\beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + \ldots + \beta_k x^k$$

Observe que o polinômio é não linear em mas que é linear em β . Se estamos tentando estimar , isso é regressão linear! linearidade em é o que assuntos. Ao estimar a equação acima por mínimos quadrados, todos os resultados da regressão linear serão mantidos.$x$$\boldsymbol{\beta}$y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + … + β k x k i + ϵ i β = ( β 0 , β 1 , … , β k$\boldsymbol{\beta}$

$$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \beta_2 x_i^2 + \ldots + \beta_k x_i^k + \epsilon_i$$ $\boldsymbol{\beta} = (\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_k)$

Seja a soma total de quadrados, seja a soma explicada de quadrados e seja a soma residual de quadrados. O coeficiente de determinação é definido como:S S E S S R R $\mathit{SST}$$\mathit{SSE}$$\mathit{SSR}$ $R^2$

$$R^2 = 1 - \frac{\mathit{SSR}}{\mathit{SST}}$$

E o resultado da regressão linear que fornece a sua interpretação familiar como a fração de variação explicada pelo modelo.$\mathit{SST} = \mathit{SSE} + \mathit{SSR}$$R^2$

SST = SSE + SSR: Quando é verdade e quando não é verdade?

Seja o valor previsto de e seja o resíduo. Além disso, vamos definir o valor da previsão como .$\hat{y}_i$$y_i$$e_i = y_i - \hat{y}_i$$f_i = \hat{y}_i - \bar{y}$

Vamos denota um produto interno . Em geral, temos: Observe que é um produto interno válido. Então nós temos:$\langle ., . \rangle$

$$\begin{align*} \langle \mathbf{f} + \mathbf{e}, \mathbf{f} + \mathbf{e} \rangle &= \langle \mathbf{f}, \mathbf{f} \rangle + 2\langle \mathbf{f}, \mathbf{e} \rangle + \langle \mathbf{e}, \mathbf{e} \rangle \\ &= \langle \mathbf{f}, \mathbf{f} \rangle + \langle \mathbf{e}, \mathbf{e} \rangle \quad \quad\text{if $\mathbf{f}$ and $\mathbf{e}$ orthogonal, i.e. their inner product is 0} \end{align*}$$ $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \sum_i a_i b_i$

• $\langle \mathbf{f} + \mathbf{e}, \mathbf{f} + \mathbf{e} \rangle = \sum_i \left(y_i - \bar{y} \right)^2$ é a soma total de quadrados (SST).
• $\langle \mathbf{f}, \mathbf{f} \rangle = \sum_i \left(\hat{y}_i - \bar{y} \right)^2$ é a soma dos quadrados explicada (SSE).
• $\langle \mathbf{e}, \mathbf{e} \rangle = \sum_i \left(y_i - \hat{y}_i \right)^2$ é a soma residual dos quadrados (SSR).

Portanto, será verdadeiro se a previsão menosprezada for ortogonal ao residual . Isso é verdadeiro na regressão linear de mínimos quadrados ordinários sempre que uma constante é incluída na regressão. Outra interpretação dos mínimos quadrados comuns é que você está projetando no intervalo linear de regressores, portanto o resíduo é ortogonal a esse espaço por construção. A ortogonalidade das variáveis ​​e resíduos do lado direito geralmente não é verdadeira para as previsões obtidas de outras maneiras.f e y y$SST = SSE + SSR$$\mathbf{f}$$\mathbf{e}$ $\mathbf{y}$$\hat{y}_i$