Como o mínimo de um conjunto de variáveis ​​aleatórias é distribuído?

$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Se o cdf de é indicado por , então o cdf do mínimo é dado por . F ( x ) 1 - [ 1 - F ( x ) ] $X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Se o CDF de é indicado por , então o CDF do mínimo é dado por .$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Raciocínio: dadas variáveis ​​aleatórias, a probabilidade implica que pelo menos um é menor que .$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

A probabilidade de que pelo menos um seja menor que é equivalente a um menos a probabilidade de que todos os sejam maiores que , ou seja, .$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

Se os são independentes distribuídos de forma idêntica, então a probabilidade de que todos os sejam maiores que é . Portanto, a probabilidade original é .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Exemplo : diga , intuitivamente, a probabilidade deve ser igual a 1 (como o valor mínimo sempre será menor que 1 desde para todos ). Nesse caso, portanto, a probabilidade é sempre 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman deu a resposta exata e fácil para um n fixo. Se você está interessado em comportamento assintótico para n grande, isso é tratado no campo da teoria dos valores extremos . Há uma pequena família de possíveis distribuições limitantes; veja, por exemplo, os primeiros capítulos deste livro .

Eu acho que a resposta 1- (1-F (x)) ^ n está correta em casos especiais. Casos especiais são condições para que pmf de rv seja baseado em uma fórmula para o domínio de rv. Se for diferente em várias partes do domínio, a fórmula acima mencionada se desvia um pouco dos resultados reais da simulação.