Pergunta sobre a distribuição conjunta de variáveis ​​aleatórias de Bernoulli sob restrição de que a soma deve ser 1

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Estou com um problema no trabalho. Alguém por favor pode me ajudar a fornecer a distribuição conjunta den Variáveis ​​aleatórias de Bernoulli, mas sob a restrição de que a soma dessas n variáveis ​​aleatórias devem ser 1.

Alguém pode me mostrar como derivar essa distribuição?

Cornel
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Respostas:

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Essa é uma distribuição categórica, também conhecida como distribuição multinomial, com número de tentativas igual a 1.

Se as probabilidades binomiais são qk,k=1,n então a probabilidade multinomial é

pk=qkjk(1qj)rqrsr(1qs)

Para derivar isso, basta usar a probabilidade condicional p(Ak|B)=p(AkB)/p(B) Onde Ak é o evento "variável k é igual a 1"e B é o evento "soma de tudo n variáveis ​​é igual a 1 ". Então você pode deduzir isso para ambos Ak e Bpara ser verdade, todas as outras variáveis ​​bernoulli devem ser zero. Essa probabilidade é o numerador para o valor depkEu dei anteriormente. Entãop(B)=rp(ArB) usando a lei da total probabilidade e independência e o denominador que eu dei.

probabilityislogic
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Tem apenas n maneiras pelas quais as variáveis ​​podem somar 1: um deles será igual 1 e o outro n1será igual a zero. O próprio fraseado da pergunta indica que as variáveis ​​são permutáveis: assim, a distribuição conjunta não muda quando as variáveis ​​são permutadas. Como as permutações das variáveis ​​apenas mudam cada um desses resultados para outros, todas são igualmente prováveis . Consequentemente, a distribuição é a uniforme naquelesn resultados, com probabilidade 1/npara cada resultado. Isso descreve completamente a distribuição conjunta.


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A questão original não assumia permutabilidade nem independência. Mas, sem fazer essa suposição, a única conclusão que podemos tirar é que a distribuição conjunta é uma distribuição nonpossíveis resultados que descrevi. As probabilidades podem ser qualquern valores não negativos que somam à unidade, conforme exigido pelos axiomas da probabilidade.

whuber
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O OP parece agnóstico em relação à permutabilidade para mim - não diz que os RVs tenham a mesma distribuição bernoulli, apenas que existem ndeles.
probabilityislogic
@probability Esse é um bom ponto: o OP não assumiu explicitamente a permutabilidade. Por outro lado, nem eles assumiram independência - mas sem independência nada de valor pode ser dito.
whuber