Algoritmo aproximado de Metropolis - isso faz sentido?

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Algum tempo atrás, Xian perguntou Qual é o equivalente para cdfs do MCMC para pdfs? A resposta ingênua seria usar o algoritmo Metropolis "aproximado" na forma

Dado X(t)=x(t)
1. gerar Yq(y|x(t))
2. pegue

X(t+1)={Y with probability min(F(Y+ε)F(Yε)F(x(t)+ε)F(x(t)ε),1)x(t) otherwise.

onde é um CDF de destino e é uma pequena constante. Isso nos permite usar o algoritmo Metropolis com CDFs.Fε

A pergunta é: existe alguma razão para que isso possa realmente ser uma má idéia?

Tim
fonte
Você viu minha resposta à pergunta de Xi'an? Acho que estamos propondo uma coisa semelhante (na verdade, você nem precisa usar o Metropolis, já que possui o CDF). Os problemas estão listados no final da minha resposta (o custo da avaliação da aproximação é exponencial no número de dimensões).
lacerbi
@lacerbi thanks. Eu sei que, como tenho CDF, não preciso disso, é apenas curiosidade. Algo além do custo?
Tim
@ Tim: obrigado pela proposta. Uma solução potencial quando é multidimensional é proceder pela amostragem de Gibbs e tomar derivativas uma direção por vez. Xϵ
Xian
@ Xian, sim, isso pode ser facilmente estendido a Gibbs, MH etc.
Tim

Respostas:

1

Não, não vejo por que isso é uma má ideia. Parece-me que é uma extensão natural (e interessante) extrair amostras de um CDF.

No entanto, acredito que a aceitação deve ser

min(F(Y+ε)F(Y)F(x(t)+ε)F(x(t)),1)

porque por definição

limε0F(x+ε)F(x)ε=PDF(x)

No entanto, é a primeira vez que vejo isso. Com um forte argumento para a amostragem de um CDF não trivial, isso pode se tornar uma publicação interessante.

Jorge Leitao
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O critério de aceitação proposto pelo OP é motivado pela expressão da diferença central da derivada como , consulte, por exemplo, math.stackexchange.com/a/888280/104295 . (Não faço ideia se há alguma razão para acreditar que uma dessas aproximações funcione melhor nesse caso). limϵ0(F(x+ϵ)F(xϵ))/(2ϵ)
Juho Kokkala
A abordagem @JuhoKokkala +/- também trata os casos de fronteira de maneira uniforme.
Tim