Distribuição máxima de entropia de uma proporção com média e variância conhecidas? É uma versão beta?

Dada uma proporção e seu erro padrão, que premissa distributiva minimiza suposições / maximiza entropia? É o beta (e posso usar o método dos momentos para estimar seus parâmetros)? Ou alguma outra coisa?

É uma distribuição normal truncada . Isso é uma consequência do teorema de Boltzmann .

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A análise a seguir fornece os detalhes necessários para implementar uma solução prática.

A Normal$(\mu,\sigma)$ distribuição $F$ truncado para o intervalo $[0,1]$ surge tomando uma variável normal padrão $X$ com distribuição de probabilidade $\Phi$, dimensionando-o $\sigma$, deslocando-o para $\mu$e truncando-o para $[0,1]$. Equivalentemente - trabalhando para trás - a variável original$X$ deve ter sido truncado para o intervalo $[-\mu/\sigma, (1-\mu)/\sigma]$ onde tinha uma probabilidade total de

$$C = \Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right),\tag{1}$$

expectativa

$$\mu_1=\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$$

e segundo momento (bruto)

$$\mu_2 = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x^2\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x.$$

Presumivelmente, seu "erro padrão" é $\sqrt{\mu_2-\mu_1^2}$ ou algum múltiplo constante disso.

Essas integrais podem ser calculadas em termos de

$$\mu_1(z) = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\tag{2}$$

e, integrando por partes,

$$\eqalign{ \mu_2(z) &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z (x)\left(x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\right)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\left(x\left(-\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right)\mid_{-\infty}^z - \int_{-\infty}^z -\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x \right)\\ &=-\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}z\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) + \frac{1}{C}\Phi(z)\tag{3}. }$$

portanto

$$\mu_1 = \mu_1\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_1\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right)$$

e

$$\mu_2 = \mu_2\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_2\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right).$$

Esses cálculos $(1)$, $(2)$e $(3)$ pode ser implementado em qualquer software em que exponenciais, raízes quadradas e $\Phi$Estão disponíveis. Isso permite a aplicação em qualquer procedimento de ajuste, como método de momentos ou probabilidade máxima. Qualquer um exigiria soluções numéricas.