Raiz esperada do polinômio aleatório quadrático

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Suponha que sejam variáveis ​​aleatórias iid, com distribuição uniforme em . Estou interessado nas raízes esperadas do polinômio , que são variáveis ​​aleatórias complexas dadas por e A,B,C[1,1]Ax2+Bx+C

Z1=B+B24AC2A
Z2=BB24AC2A.

Fazendo simulações, e

E[Z1]0.3559+0.0005i
E[Z2]0.64210.0005i.

Para confirmar isso, preciso calcular esses valores matematicamente. Para por exemplo, isso significa calcular a integral E[Z1]

18111111b+b24ac2a da db dc.

Infelizmente, parece que essa integral tem valores diferentes quando alteramos a ordem da integração. Eu tentei calcular com Wolframalpha. Isso me dá zero ou não é possível calcular, dependendo da ordem. Provavelmente, isso ocorre porque o termo chega ao infinito no intervalo de integração, portanto, não podemos usar o Teorema de Fubini. Não tenho certeza se Wolframalpha apenas falhou em calcular algumas integrais ou realmente não está definido. Esse segundo cenário significa que não tem valor esperado, portanto o polinômio aleatório não tem raiz esperada. Eu acho que esse é um cenário estranho, portanto, eu realmente preciso confirmar se é esse o caso ou não. 12aE[Z1]Z1Ax2+Bx+C

Integrante
fonte
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Quando (com probabilidade de 0,6272), a parte imaginária é 0, caso contrário, não é zero e, quando é diferente de zero, a magnitude média da parte imaginária será correspondentemente cerca de 2,68 vezes mais. maior que a média dos dois conjuntos de casos. Tem certeza de que pretende fazer a média dos dois casos? Os valores de estão no intervalo de -4 a 5 e a distribuição não é simétrica. Na verdade, parece com o chapéu de GandalfΔ=B24AC0Δ
Glen_b -Reinstate Monica
Seu e não estão bem definidos até que você tenha escolhido qual raiz complexa usar. Essa escolha afeta suas distribuições. Z1Z2
whuber
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Eles não são dados explicitamente. Cada número tem duas raízes quadradas complexas. Você precisa escolher qual será usado para e qual será para . Z1Z2
whuber
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Não existe um valor exclusivo de, digamos, . É um dos dois valores complexos. Como nenhum deles é real, não faz sentido chamar um de "positivo" ou o outro de "negativo": você deve escolher qual atribuir a e qual . Seu software teve que fazer uma escolha para você - mas isso não significa que é a única opção. Veja en.wikipedia.org/wiki/Branch_point , por exemplo. iZ1Z2
whuber
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A distinção entre e , que diferem de acordo com o sinal que precede a raiz quadrada, é explicitamente uma distinção entre positivo e negativo. Sua observação, no entanto, mostra que, em última análise, isso não importa. No entanto, os resultados específicos de qualquer simulação de fazer depender de alguma tal convenção. Z1Z2
whuber

Respostas:

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Seu e não estão bem definidos até que você tenha escolhido qual raiz complexa usar. Essa escolha pode afetar suas distribuições. (Na verdade, não existe, devido às simetrias de , e torno de ).Z1Z2ABC0

Independentemente disso, como está bem definido, suponha que você tenha feito essa escolha e que o tenha expectativas finitas. Da independência de e e do fato de a densidade de não se aproximar de zero próximo de , conclui-se que ouvi dizer que razões ou inversas de variáveis ​​aleatórias geralmente são problemáticas, por não haver expectativas. Por que é que? que não tem expectativa. Mas como , isso cria uma contradição demonstrando que pelo menos um de e não podem ter expectativa.Z1+Z2=B/A ZiABAA=0B/AE[B/A]=E[Z1+Z2]Z1Z2


Você também pode argumentar pela simetria desse problema que a expectativa de , se existir, deve ser zero. (A distribuição de e a distribuição de são as mesmas, mas as distribuições correspondentes de são negativas para cada outro. Ergo , as suas expectativas devem ser negativos um do outro, também.) Portanto, a expectativa de cada é apenas . Isso tem uma expressão mais simples como uma integral:B24AC/(2A)(A,B,C)(A,B,C)B24AC/(2A)ZiE[B/(2A)]

E[B/2A]=141111b2adadb

Podemos tentar avaliá-lo como uma integral iterada (de acordo com o Teorema de Fubini). No entanto, a integral interior (em relação a ) diverge a :a0

limt0+t1daa=limt0+log(t)

enquanto

limt01tdaa=limt0(log(t)),

demonstrando que é indefinido. É por isso que é inválido alterar a ordem da integração - o Teorema de Fubini não se aplica - para obter para a integral sobre e, assim, obter o valor (errado) de para a expectativa.0b0

Em qualquer análise, a fonte da dificuldade é clara: tem uma densidade não desprezível em qualquer vizinhança zero.A

whuber
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