Suponha que sejam variáveis aleatórias iid, com distribuição uniforme em . Estou interessado nas raízes esperadas do polinômio , que são variáveis aleatórias complexas dadas por e
Fazendo simulações, e
Para confirmar isso, preciso calcular esses valores matematicamente. Para por exemplo, isso significa calcular a integral
Infelizmente, parece que essa integral tem valores diferentes quando alteramos a ordem da integração. Eu tentei calcular com Wolframalpha. Isso me dá zero ou não é possível calcular, dependendo da ordem. Provavelmente, isso ocorre porque o termo chega ao infinito no intervalo de integração, portanto, não podemos usar o Teorema de Fubini. Não tenho certeza se Wolframalpha apenas falhou em calcular algumas integrais ou realmente não está definido. Esse segundo cenário significa que não tem valor esperado, portanto o polinômio aleatório não tem raiz esperada. Eu acho que esse é um cenário estranho, portanto, eu realmente preciso confirmar se é esse o caso ou não.
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Respostas:
Seu e não estão bem definidos até que você tenha escolhido qual raiz complexa usar. Essa escolha pode afetar suas distribuições. (Na verdade, não existe, devido às simetrias de , e torno de ).Z1 Z2 A B C 0
Independentemente disso, como está bem definido, suponha que você tenha feito essa escolha e que o tenha expectativas finitas. Da independência de e e do fato de a densidade de não se aproximar de zero próximo de , conclui-se que ouvi dizer que razões ou inversas de variáveis aleatórias geralmente são problemáticas, por não haver expectativas. Por que é que? que não tem expectativa. Mas como , isso cria uma contradição demonstrando que pelo menos um de e não podem ter expectativa.Z1+Z2=−B/A Zi A B A A=0 −B/A E[−B/A]=E[Z1+Z2] Z1 Z2
Você também pode argumentar pela simetria desse problema que a expectativa de , se existir, deve ser zero. (A distribuição de e a distribuição de são as mesmas, mas as distribuições correspondentes de são negativas para cada outro. Ergo , as suas expectativas devem ser negativos um do outro, também.) Portanto, a expectativa de cada é apenas . Isso tem uma expressão mais simples como uma integral:B2−4AC−−−−−−−−√/(2A) (A,B,C) (−A,B,−C) B2−4AC−−−−−−−−√/(2A) Zi E[−B/(2A)]
Podemos tentar avaliá-lo como uma integral iterada (de acordo com o Teorema de Fubini). No entanto, a integral interior (em relação a ) diverge a :a 0
enquanto
demonstrando que é indefinido. É por isso que é inválido alterar a ordem da integração - o Teorema de Fubini não se aplica - para obter para a integral sobre e, assim, obter o valor (errado) de para a expectativa.0 b 0
Em qualquer análise, a fonte da dificuldade é clara: tem uma densidade não desprezível em qualquer vizinhança zero.A
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