Considere a soma de

Podemos adotar várias abordagens para isso, qualquer uma das quais pode parecer intuitiva para algumas pessoas e menos intuitiva para outras. Para acomodar essa variação, esta resposta examina várias dessas abordagens, cobrindo as principais divisões do pensamento matemático - análise (o infinito e o infinitesimal), geometria / topologia (relações espaciais) e álgebra (padrões formais de manipulação simbólica) - como bem como a própria probabilidade. Ele culmina com uma observação que unifica todas as quatro abordagens, demonstra que há uma pergunta genuína a ser respondida aqui e mostra exatamente qual é o problema. Cada abordagem fornece, à sua maneira, uma visão mais profunda da natureza das formas das funções de distribuição de probabilidade de somas de variáveis uniformes independentes.

fundo

A distribuição Uniform $[0,1]$ possui várias descrições básicas. Quando tem essa distribuição, $X$

A chance de em um conjunto mensurável é apenas a medida (comprimento) de , escrita . $X$ $A$ $A \cap [0,1]$ $|A \cap [0,1]|$
A partir disso, é imediato que a função de distribuição cumulativa (CDF) seja

$F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = | (- \infty, x] \cap [0, 1] | = | [0, min (x, 1)] | = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1. \end{cases} \end{array}$ $F_X(x) = \Pr(X \le x) = |(-\infty, x] \cap [0,1]| = |[0,\min(x,1)]| = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x\lt 0 \\ x & 0\leq x\leq 1 \\ 1 & x\gt 1. \end{array}\right. \end{array}$
A função densidade de probabilidade (PDF), que é a derivada do CDF, é para e de outro modo. (É indefinido em e ) $f_X(x) = 1$ $0 \le x \le 1$ $f_X(x)=0$ $0$ $1$

Intuição a partir de funções características (análise)

A função característica (CF) de qualquer variável aleatória é a expectativa de (onde é a unidade imaginária, ). Usando o PDF de uma distribuição uniforme, podemos calcular $X$ $\exp(i t X)$ $i$ $i^2=-1$

ϕ_{X} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (i t x) f_{X} (x) d x = \int_{0}^{1} \exp (i t x) d x = {\frac{\exp (i t x)}{i t} |}_{x = 0}^{x = 1} = \frac{\exp (i t) - 1}{i t} .

$\phi_X(t) = \int_{-\infty}^\infty \exp(i t x) f_X(x) dx = \int_0^1 \exp(i t x) dx = \left. \frac{\exp(itx)}{it} \right|_{x=0}^{x=1} = \frac{\exp(it)-1}{it}.$

O CF é uma (versão da) transformada de Fourier do PDF, . Os teoremas mais básicos sobre transformadas de Fourier são: $\phi(t) = \hat{f}(t)$

O CF de uma soma das variáveis independentes é o produto de seus CFs. $X+Y$
Quando o PDF original é contínuo e é delimitado, pode ser recuperado do CF por uma versão intimamente relacionada da transformação de Fourier, $f$ $X$ $f$ $\phi$

f (x) = \overset{ˇ}{ϕ} (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t .

$f(x) = \check{\phi}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt.$

Quando é diferenciável, sua derivada pode ser calculada sob o sinal integral: $f$

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t = \frac{- i}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} t \exp (- i x t) ϕ (t) d t .$ $f'(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt = \frac{-i}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty t \exp(-i x t) \phi(t) dt.$
Para que isso seja bem definido, a última integral deve convergir absolutamente; isso é,

$\int_{- \infty}^{\infty} | t \exp (- i x t) ϕ (t) | d t = \int_{- \infty}^{\infty} | t | | ϕ (t) | d t$ $\int_{-\infty}^\infty |t \exp(-i x t) \phi(t)| dt = \int_{-\infty}^\infty |t| |\phi(t)| dt$
deve convergir para um valor finito. Inversamente, quando converge, a derivada existe em toda parte em virtude dessas fórmulas de inversão.

Agora está claro exatamente o quão diferenciável é o PDF para uma soma de variáveis uniformes: desde o primeiro marcador, o CF da soma das variáveis iid é o CF de uma delas elevada ao poder , aqui igual a . O numerador é delimitado (consiste em ondas senoidais) enquanto o denominador é . Podemos multiplicar esse integrando por e ele ainda convergirá absolutamente quando e convergirá condicionalmente quando . Assim, a aplicação repetida do terceiro marcador mostra que o PDF para a soma de variáveis uniformes será continuamente $n$ $n^\text{th}$ $(\exp(i t) - 1)^n / (i t)^n$ $O(t^{n})$ $t^{s}$ $s \lt n-1$ $s = n-1$ $n$ $n-2$ vezes diferenciáveis e, na maioria dos lugares, será vezes diferenciável. $n-1$

CF para n = 10

A curva sombreada em azul é um gráfico log-log do valor absoluto da parte real do CF da soma de iid de variáveis uniformes. A linha vermelha tracejada é uma assíntota; sua inclinação é , mostrando que o PDF é vezes diferenciável. Para referência, a curva cinza representa a parte real do CF para uma função Gaussiana de formato semelhante (um PDF normal). $n=10$ $-10$ $10 - 2 = 8$

Intuição da Probabilidade

Seja e variáveis aleatórias independentes, onde tem uma distribuição uniforme . Considere um intervalo estreito . Nós decompomos a chance de que na chance de que esteja suficientemente próximo desse intervalo vezes a chance de que tenha o tamanho certo para colocar nesse intervalo, considerando que está próximo o suficiente: $Y$ $X$ $X$ $[0,1]$ $(t, t+dt]$ $X+Y \in (t, t+dt]$ $Y$ $X$ $X+Y$ $Y$

\begin{aligned} f_{X + Y} (t) d t = & Pr (X + Y \in (t, t + d t]) \\ = Pr (X + Y \in (t, t + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) Pr (Y \in (t - 1, t + d t]) \\ = Pr (X \in (t - Y, t - Y + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) \\ = 1 d t (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(t) dt = &\Pr(X+Y\in (t,t+dt])\\ & = \Pr(X+Y\in (t,t+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \Pr(Y \in (t-1, t+dt]) \\ & = \Pr(X \in (t-Y, t-Y+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right) \\ & = 1 dt \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right). }$

A igualdade final vem da expressão para o PDF de . Dividir os dois lados por e tomar o limite como dá $X$ $dt$ $dt\to 0$

f_{X + Y} (t) = F_{Y} (t) - F_{Y} (t - 1) .

$f_{X+Y}(t) = F_Y(t) - F_Y(t-1).$

Em outras palavras, adicionar uma variável uniforme a qualquer variável altera o pdf em um CDF diferenciado . Como o PDF é a derivada do CDF, isso implica que cada vez que adicionamos uma variável uniforme independente a , o PDF resultante é uma vez mais diferenciável do que antes. $[0,1]$ $X$ $Y$ $f_Y$ $F_Y(t) - F_Y(t-1)$ $Y$

Vamos aplicar esta visão, começando com uma variável uniforme . O PDF original não pode ser diferenciado em ou : é descontínuo lá. A PDF de não é diferenciável em , , ou , mas deve ser contínua naqueles pontos, uma vez que é a diferença de integrais da PDF de . Adicione outra variável uniforme independente : o PDF de é diferenciável em , , e mas não tem necessariamente o segundo $Y$ $0$ $1$ $Y+X$ $0$ $1$ $2$ $Y$ $X_2$ $Y+X+X_2$ $0$ $1$ $2$ $3$ derivados nesses pontos. E assim por diante.

Intuição da Geometria

A CDF em de uma soma de uniforme iid variates é igual ao volume da unidade hipercúbica encontra-se no interior da meia-espaço . A situação para variáveis é mostrada aqui, com definido em , e depois em . $t$ $n$ $[0,1]^n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n \le t$ $n=3$ $t$ $1/2$ $3/2$ $5/2$

Cubo 3D

À medida que progride de a , o hiperplano cruza os vértices em , . A cada vez, a forma da seção transversal muda: na figura, primeiro é um triângulo (um simplex), depois um hexágono, depois um triângulo novamente. Por que o PDF não possui curvas acentuadas com esses valores de ? $t$ $0$ $n$ $H_n(t): x_1+x_2+\cdots+x_n=t$ $t=0$ $t=1, \ldots, t=n$ $2$ $t$

Para entender isso, primeiro considere pequenos valores de . Aqui, o hiperplano corta um -simplex. Todas as dimensões do simplex são diretamente proporcionais a , de onde sua "área" é proporcional a . Alguma notação para isso será útil mais tarde. Seja a "função de etapa da unidade" $t$ $H_n(t)$ $n-1$ $n-1$ $t$ $t^{n-1}$ $\theta$

θ (x) = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0. \end{cases} \end{array}

$\theta(x) = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \lt 0 \\ 1 & x\ge 0. \end{array}\right. \end{array}$

Se não fosse a presença dos outros cantos do hipercubo, esse dimensionamento continuaria indefinidamente. Um gráfico da área do -simplex seria semelhante à curva azul sólida abaixo: é zero em valores negativos e é igual ano positivo, convenientemente escrito. Ele tem uma "torção" da ordem na origem, no sentido de que todas as derivadas da ordem existem e são contínuas, mas que as derivadas esquerda e direita da ordem existem, mas não concordam na origem . $n-1$ $t^{n-1}/(n-1)!$ $\theta(t) t^{n-1}/(n-1)!$ $n-2$ $n-3$ $n-2$

(As outras curvas mostradas nesta figura são (Vermelho), (Ouro) e (Preto). Seus papéis no caso são discutidos mais adiante.) $-3\theta(t-1) (t-1)^{2}/2!$ $3\theta(t-2) (t-2)^{2}/2!$ $-\theta(t-3) (t-3)^{2}/2!$ $n=3$

Gráfico de área simples

Para entender o que acontece quando cruza , vamos examinar em detalhes o caso , onde toda a geometria acontece em um plano. Podemos ver a unidade "cubo" (agora apenas um quadrado) como uma combinação linear de quadrantes , como mostrado aqui: $t$ $1$ $n=2$

Quadrantes

O primeiro quadrante aparece no painel inferior esquerdo, em cinza. O valor de é , determinando a linha diagonal mostrada nos cinco painéis. O CDF é igual à área amarela mostrada à direita. Esta área amarela é composta por: $t$ $1.5$

A área cinza triangular no painel inferior esquerdo,
menos a área verde triangular no painel superior esquerdo,
menos a área triangular vermelha no painel central baixo,
além de qualquer área azul no painel central superior (mas não existe essa área, nem haverá até exceder ). $t$ $2$

Cada uma dessas áreas é a área de um triângulo. A primeira escala como , as duas seguintes são zero para e, de outra forma, escala como , e a última é zero para e de outra forma escala como . Esta análise geométrica estabeleceu que o CDF é proporcional a = ; equivalentemente, o PDF é proporcional à soma das três funções , e $2^n=4$ $t^n=t^2$ $t\lt 1$ $(t-1)^n = (t-1)^2$ $t\lt 2$ $(t-2)^n$ $\theta(t)t^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t^2 - 2 \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t$ $-2\theta(t-1)(t-1)$ $\theta(t-2)(t-2)$ (cada um deles escalando linearmente quando ). O painel esquerdo desta figura mostra seus gráficos: evidentemente, todas são versões do gráfico original , mas (a) deslocadas por , e unidades para a direita e (b) redimensionadas por , e , respectivamente. $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $1$ $2$ $1$ $-2$ $1$

Gráficos para n = 2

O painel direito mostra a soma desses gráficos (a curva preta sólida, normalizada para ter área de unidade: este é precisamente o PDF de aparência angular mostrado na pergunta original.

Agora podemos entender a natureza das "dobras" no PDF de qualquer soma das variáveis uniformes do iid. Eles são exatamente iguais ao "kink" que ocorre em na função , possivelmente redimensionada e deslocada para os números inteiros correspondentes a onde o hiperplano cruza os vértices do hipercubo. Para , essa é uma mudança visível na direção: a derivada direita de em é enquanto sua derivada esquerda é . Para , este é um contínuo $0$ $\theta(t)t^{n-1}$ $1,2,\ldots, n$ $H_n(t)$ $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $0$ $1$ $n=3$ mudança de direção, mas uma mudança repentina (descontínua) na segunda derivada. Para o geral , haverá derivadas contínuas através da ordem mas uma descontinuidade na derivada . $n$ $n-2$ $n-1^\text{st}$

Intuição da manipulação algébrica

A integração para calcular o CF, a forma da probabilidade condicional na análise probabilística e a síntese de um hipercubo como uma combinação linear de quadrantes sugerem retornar à distribuição uniforme original e reexpressá-la como uma combinação linear de coisas mais simples . De fato, seu PDF pode ser escrito

f_{X} (x) = θ (x) - θ (x - 1) .

$f_X(x) = \theta(x) - \theta(x-1).$

Vamos apresentar o operador de deslocamento : ele atua em qualquer função deslocando seu gráfico uma unidade para a direita: $\Delta$ $f$

(Δ f) (x) = f (x - 1) .

$(\Delta f)(x) = f(x-1).$

Formalmente, então, para o PDF de uma variável uniforme podemos escrever $X$

f_{X} = (1 - Δ) θ .

$f_X = (1 - \Delta)\theta.$

O PDF de uma soma de uniformes IID é a convolução de consigo mesma vezes. Isto decorre da definição de uma soma de variáveis aleatórias: a convolução de duas funções e é a função $n$ $f_X$ $n$ $f$ $g$

(f ⋆ g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y) d y .

$(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y) dy.$

É fácil verificar se a convolução comuta com . Basta alterar a variável de integração de para : $\Delta$ $y$ $y+1$

\begin{aligned} (f ⋆ (Δ g)) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) (Δ g) (y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y - 1) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f ((x - 1) - y) g (y) d y \\ = (Δ (f ⋆ g)) (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ (f \star (\Delta g)) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)(\Delta g)(y) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y-1) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f((x-1)-y)g(y) dy \\ &= (\Delta (f \star g))(x). }$

Para o PDF da soma de iid uniformes, podemos agora proceder algebricamente para escrever $n$

f = f_{X}^{⋆ n} = ((1 - Δ) θ)^{⋆ n} = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n}

$f = f_X^{\star n} = ((1 - \Delta)\theta)^{\star n} = (1-\Delta)^n \theta^{\star n}$

(onde "poder" denota convolução repetida, não multiplicação pontual!). Agora é uma integração direta e elementar, fornecendo $\star n$ $\theta^{\star n}$

θ^{⋆ n} (x) = θ (x) \frac{x^{n - 1}}{n - 1!} .

$\theta^{\star n}(x) = \theta(x) \frac{x^{n-1}}{{n-1}!}.$

O resto é álgebra, porque o Teorema Binomial se aplica (como em qualquer álgebra comutativa sobre os reais):

f = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) Δ^{i} θ^{⋆ n} .

$f = (1-\Delta)^n \theta^{\star n} = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} \Delta^i \theta^{\star n}.$

Como apenas muda seu argumento por , isso exibe o PDF como uma combinação linear de versões deslocadas de , exatamente como deduzimos geometricamente: $\Delta^i$ $i$ $f$ $\theta(x) x^{n-1}$

f (x) = \frac{1}{(n - 1)!} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) (x - i)^{n - 1} θ (x - i) .

$f(x) = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} (x-i)^{n-1}\theta(x-i).$

(John Cook cita essa fórmula posteriormente em sua postagem no blog, usando a notação para .) $(x-i)^{n-1}_+$ $(x-i)^{n-1}\theta(x-i)$

Assim, como é uma função suave em qualquer lugar, qualquer comportamento singular do PDF ocorrerá apenas em locais onde é singular (obviamente apenas ) e nesses locais deslocados para a direita por . A natureza desse comportamento singular - o grau de suavidade - será, portanto, a mesma em todos os locais. $x^{n-1}$ $\theta(x)$ $0$ $1, 2, \ldots, n$ $n+1$

Ilustrando esta é a figura para , mostrando (no painel esquerdo) os termos individuais na soma e (no painel direito) as somas parciais, culminando na própria soma (curva preta sólida): $n=8$

Gráfico para n = 8

Comentários finais

É interessante notar que esta última abordagem tem finalmente cedeu uma expressão compacto, prático para o cálculo do PDF de uma soma de variáveis uniformes IID. (Uma fórmula para o CDF é obtida da mesma forma.) $n$

O Teorema do Limite Central tem pouco a dizer aqui. Afinal, uma soma de variáveis binomiais iid converge para uma distribuição Normal, mas essa soma é sempre discreta: ela nem sequer possui um PDF! Não devemos esperar que qualquer intuição sobre "distorções" ou outras medidas de diferenciabilidade de um PDF venha do CLT.

whuber
fonte

(+1) Fantástico! Agora, quanto tempo você levou para juntar tudo isso ?!

cardeal

@ Cardinal Esta foi a última pergunta que li antes de perder energia na segunda-feira passada. Durante a semana que se seguiu, as longas noites escuras forneceram oportunidades para pensar sobre isso :-) e, para diversão, desenvolver várias respostas. Depois que a energia foi restaurada no fim de semana passado, era apenas uma questão de encontrar algum tempo para fazer as ilustrações e escrever tudo (o que demorou mais do que o esperado, confesso). Espero que talvez alguns desses tópicos possam servir como referência para futuras perguntas relacionadas sobre somas de variáveis aleatórias.

whuber

Uau. Eu gostaria de poder "favorito" esta resposta .

Rhubbarb

whuber, isso é absolutamente incrível. Eu nunca percebi o quão profunda uma pergunta tão simples poderia ser. Vai demorar um pouco para responder sua resposta, mas por enquanto, muito obrigado!

Tetragrammaton

Eu vou violar a política SE sobre os comentários, dizendo que nós (todos os crossvalidate.com) deve subornar a companhia de energia para cortar a energia mais frequentemente :)

mpiktas