Média da distribuição exponencial inversa

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Dada uma variável aleatória , qual é a média e a variação de ?Y=Exp(λ)G=1Y

Eu olho para a distribuição gama inversa, mas a média e a variação são definidas apenas para e respectivamente ...α>1α>2

Diogo Santos
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Respostas:

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Dado que a distribuição exponencial inversa tem , você se deparou com o fato de que a média da exponencial inversa é . E, portanto, a variação da exponencial inversa é indefinida.α=1

Se é inversamente distribuído exponencialmente, existe e é finito para e para .E ( G r ) r < 1 = r = 1GE(Gr)r<1=r=1

Mark L. Stone
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Isso está ligado com a minha pergunta no aqui
Diogo Santos
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Mostrarei o cálculo da média de uma distribuição exponencial para que você se lembre da abordagem. Então, eu vou para o exponencial inverso com a mesma abordagem.

DadofY(y)=λeλy

E[Y]=0yfY(y)dy

=0yλeλydy

=λ0yeλydy

Integrando por parte (ignore o na frente da integral no momento),λ

u=y,dv=eλydy

du=dy,v=1λeλy

=y1λeλy01λeλydy

=y1λeλy+1λ0eλydy

=y1λeλy1λ2eλy

Multiplique pelo na frente da integral,λ

=yeλy1λeλy

Avalie para e ,0

=(00)1λ(01)

=λ1

Qual é um resultado conhecido.

Para , a mesma lógica se aplica.G=1Y

E[G]=E[1Y]=01yfY(y)dy

=01yλeλydy

=λ01yeλydy

A principal diferença é que, para uma integração por partes,

u=y1

e

du=1y2

portanto, não nos ajuda com . Eu acho que a integral é indefinida aqui. O Wolfram alfa me diz que não converge.G=1y

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Portanto, a média não existe para o Exponencial inverso ou, equivalente, para o Gamma inverso com . O motivo é semelhante para a variação e .α=1α>2

Étienne Vanasse
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Observe que (como Whuber comentou outra resposta) é delimitado por para próximo a e diverge para qualquer , então a integral para diverge de fato. exp(λy)0y0ε > 0 E [ L ]0ϵ1ydyϵ>0E[G]
Strants 12/08/16
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Após uma simulação rápida (em R), parece que a média não existe: insira a descrição da imagem aqui

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Para fins de comparação, eis o que acontece com uma variável aleatória exponencial genuína.

insira a descrição da imagem aqui

RUser4512
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A média não pode existir porque o exponencial tem densidade positiva em qualquer vizinhança de zero.
whuber
@whuber, de fato, é isso que tentei enfatizar: o meio empírico não converge para o inverso de uma lei exponencial, enquanto para uma lei exponencial.
precisa saber é o seguinte
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Sim, mas (1) pelo fato de citar, a conclusão de nenhuma expectativa é imediatamente óbvia e (2) nenhuma quantidade de simulação pode fazer mais do que sugerir que uma expectativa pode ser indefinida. Por exemplo, se alguém truncar a exponencial em um limite inferior de , sua inversa teria de fato uma expectativa finita, mas suas simulações não pareceriam diferentes. Portanto, a simples observação (1) parece ser muito mais informativa e confiável do que as simulações. 101000
whuber