Ouvi dizer que proporções ou inversas de variáveis ​​aleatórias geralmente são problemáticas, por não ter expectativas. Por que é que?

O título é a pergunta. Disseram-me que proporções e inversas de variáveis ​​aleatórias geralmente são problemáticas. O que se quer dizer é que a expectativa geralmente não existe. Existe uma explicação simples e geral disso?

Eu gostaria de oferecer uma explicação muito simples e intuitiva. Isso equivale a olhar para uma figura: o restante deste post explica a figura e tira conclusões dela.

Aqui está o que se resume: quando há uma "massa de probabilidade" concentrada perto de , haverá muita probabilidade perto de , fazendo com que sua expectativa seja indefinida.$X=0$$1/X\approx \pm \infty$

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Em vez de ser totalmente geral, vamos nos concentrar nas variáveis ​​aleatórias que possuem densidades contínuas em uma vizinhança de . Suponha . Visualmente, essas condições significam que o gráfico de está acima do eixo em torno de :$X$$f_X$$0$$f_X(0)\ne 0$$f$$0$

A continuidade de torno de implica que, para qualquer altura positiva menor que e suficientemente pequeno , podemos esculpir um retângulo abaixo deste gráfico, centrado em torno de , com largura e altura , como mostrado. Isso corresponde a expressar a distribuição original como uma mistura de uma distribuição uniforme (com peso ) e o que resta. 0 p f X ( 0 ) ϵ x = 0 2 ϵ p p × 2 ϵ = 2 p $f_X$$0$$p$$f_X(0)$$\epsilon$$x=0$$2\epsilon$$p$$p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

Em outras palavras, podemos pensar em como surgindo da seguinte maneira:$X$

1. Com probabilidade , desenhe um valor de uma distribuição Uniforme .( - ϵ , ϵ $2p\epsilon$$(-\epsilon,\epsilon)$

2. Caso contrário, desenhe um valor da distribuição cuja densidade seja proporcional a . (Esta é a função desenhada em amarelo à direita.)$f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( é a função do indicador.)$I$

O passo mostra que, para qualquer , a chance de estar entre e exceder . Equivalentemente, essa é a chance de exceder . Em outras palavras: escrevendo para a função sobrevivente de0 < u < ε X 0 u p u / 2 1 / X 1 / u S 1 /$(1)$$0 \lt u \lt \epsilon$$X$$0$$u$$p u / 2$$1/X$$1/u$$S$$1/X$

$$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$$

a imagem mostra para todos .x > 1 /$S(x) \gt p / (2x)$$x \gt 1/\epsilon$

Terminamos agora, porque esse fato sobre implica que a expectativa é indefinida. $S$ Compare as integrais envolvidas no cálculo da expectativa da parte positiva de , :( 1 / X ) + = máx ( 0 , 1 / X $1/X$$(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

$$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$$

(Esse é um argumento puramente geométrico: toda integral representa uma região bidimensional identificável e todas as desigualdades surgem de inclusões estritas nessas regiões. De fato, nem precisamos saber que a integral final é um logaritmo: existem formas geométricas simples argumentos mostrando essa integral divergem.)

Como o lado direito diverge como , diverge. A situação com a parte negativa de é a mesma (porque o retângulo é centrado em torno de ) e o mesmo argumento mostra que a expectativa da parte negativa de diverge. Conseqüentemente, a expectativa de si é indefinida.E [ ( 1 / X ) + ] 1 / X 0 1 / X 1 /$x\to\infty$$E[(1/X)_{+}]$$1/X$$0$$1/X$$1/X$

A propósito, o mesmo argumento mostra que, quando tem probabilidade concentrada em um lado de , como qualquer distribuição Exponencial ou Gama (com parâmetro de forma menor que ), ainda assim a expectativa positiva diverge, mas a expectativa negativa é zero. Nesse caso, a expectativa é definida, mas é infinita.0 $X$$0$$1$

Razões e inversos são principalmente significativos com variáveis ​​aleatórias não negativas, portanto, assumirei quase certamente. Então, se é uma variável discreta que assume o valor zero com probabilidade positiva, estaremos dividindo com zero com uma probabilidade positiva, o que explica por que a expectativa de não existe.X 1 /$X \ge 0$$X$$1/X$

Agora observe o caso de distribuição contínua, com uma variável aleatória com função de densidade . Vamos assumir que e que é contínuo (pelo menos em zero). Então existe um tal que para . O valor esperado de é dado por Agora vamos mudar a variável de integração para , temos , obtendo $X \ge 0$$f(x)$$f(0)>0$$f$$\epsilon > 0$$f(x) > \epsilon$$0 \le x < \epsilon$$1/X$

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$$ $u=1/x$$du = -\frac1{x^2} \; dx$ $$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$$ Agora, por hipótese em então em , usando isso temos mostrando que a expectativa não existe. Um exemplo que cumpre essa suposição é a distribuição exponencial com a taxa 1.$f(u) > \epsilon$$[0,\epsilon)$$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$$(1/\epsilon, \infty)$ $$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$$

Demos uma resposta para inversos, e quanto a proporções? Seja a razão de duas variáveis ​​aleatórias não-negativas. Se eles são independentes, podemos escrever portanto isso se reduz ao primeiro caso e não há muito o que dizer . E se eles forem dependentes, com fatoração da densidade articular como Então obtemos (usando a mesma substituição que a anterior) e podemos raciocinar como acima na integral interna. O resultado será que, se a densidade condicional (dado$Z=Y/X$

$$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$$ $$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$$ y y 1 / X Y / $$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$$ $y$) é positivo e contínuo em zero, para um conjunto de com probabilidade marginal positiva, a expectativa será infinita. Acho que não será fácil encontrar exemplos em que a expectativa marginal de seja infinita, mas a expectativa da razão é finita, a menos que haja uma correlação perfeita. Seria bom ver alguns exemplos!$y$$1/X$$Y/X$