Teste de diferença significativa nas proporções de variáveis aleatórias distribuídas normalmente

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Relacionado a Analisar proporções de variáveis e Como parametrizar a proporção de duas variáveis normalmente distribuídas ou o inverso de uma? .

Suponha que eu tenha um número de amostras de quatro distribuições aleatórias contínuas diferentes, todas as quais podemos assumir como aproximadamente normais. No meu caso, eles correspondem a algumas métricas de desempenho de dois sistemas de arquivos diferentes (por exemplo, ext4 e XFS), com e sem criptografia. A métrica pode ser, por exemplo, o número de arquivos criados por segundo ou a latência média para alguma operação de arquivo. Podemos assumir que todas as amostras retiradas dessas distribuições sempre serão estritamente positivas. Vamos chamar estas distribuições , onde $\textrm{Perf}_{fstype,encryption}$ e . $fstype \in \{xfs,ext4\}$ $encryption \in \{crypto,nocrypto\}$

Agora, minha hipótese é que a criptografia diminui um dos sistemas de arquivos por um fator maior que o outro. Existe algum teste simples para a hipótese ? $\frac{E[\textrm{Perf}_{xfs,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{xfs,nocrypto}]} < \frac{E[\textrm{Perf}_{ext4,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{ext4,nocrypto}]}$

distributions hypothesis-testing statistical-significance Sami Liedes
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Alguns textos parecem ter sido excluídos do meio desta pergunta. Você acha que poderia restaurá-lo?

whuber

Eu acho que o "Assim, o" foi deixado lá por engano, pelo menos não consigo pensar no que eu gostaria de acrescentar a isso. Provavelmente foi algo que finalmente mudei para o segundo parágrafo.

Sami Liedes

Você pode ajustar um modelo linear generalizado para uma distribuição normal com uma função de link de log.

onestop

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"Número de arquivos" e "latência média" não podem ser normalmente distribuídos (nem negativos para começar). É provável que ambos estejam de certa forma inclinados. O número de arquivos é uma contagem discreta.

Glen_b -Reinstala Monica

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Uma alternativa à boa resposta do StasK é usar um teste de permutação. O primeiro passo é definir uma estatística de teste , talvez: $T$

$T = \frac{\widehat{Perf}_{ext4,crypto}}{\widehat{Perf}_{ext4,nocrypto}} - \frac{\widehat{Perf}_{xfs,crypto}}{\widehat{Perf}_{xfs,nocrypto}}$

onde é, talvez, a média amostral das observações de , etc. (Isso se encaixa na sua definição de a hipótese como a razão das expectativas em vez da possibilidade alternativa da expectativa da razão - qual alternativa pode ser o que você realmente deseja.) O segundo passo é permutar aleatoriamente os rótulos $\widehat{Perf}_{ext4,crypto}$ $\text{Perf}_{ext4,crypto}$ nos dados muitas vezes, digamos, , e calcular para cada permutação. O último passo é comparar o seu original com o observado ; o valor p estimado-permutação seria a fracção do . $ext4, \space xfs$ $i=1, \dots, 10000$ $T_i$ $T$ $T_i$ $T_i \leq T$

O teste de permutação liberta você da dependência de assintóticos, mas é claro que, dependendo do tamanho da sua amostra (e dos dados também, é claro), o método delta, que também uso ocasionalmente, pode funcionar bem.

jbowman
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Essa é uma boa sugestão também!

StasK

Observe que a proporção de duas variáveis normais centralizadas é uma variável de Cauchy.

Xian

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@ Xi'an: Está claro que podemos assumir que aqui são independentes? Como você sabe, isso seria necessário para que esse resultado se mantivesse (e tenha a chance de ser útil).

cardeal

@ cardinal: sim, de fato, eles teriam que ser independentes!

Xian

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Como um ponto técnico muito esnobe - a permutação funciona um pouco melhor quando sua estatística de teste é essencial / não envolve parâmetros desconhecidos / é estabilizada por variância ... pelo menos sob o nulo. Com proporções, você pode fazer uma transformação de arco-pecado. Com quantidades contínuas estritamente positivas, eu provavelmente começaria com logs. Mas isso é realmente cereja no topo do bolo.

StasK

4

Você pode calcular o erro padrão (assintótico) da proporção usando o método delta . Se você possui duas variáveis aleatórias e tais que $X$ $Y$

\sqrt{n} (\begin{matrix} \bar{X} - μ_{X} \\ \bar{Y} - μ_{Y} \end{matrix}) \to N ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{array}{cc} σ_{X X} & σ_{X Y} \\ σ_{X Y} & σ_{Y Y} \end{array}))

$\sqrt{n}\left(\begin{array}{c} \bar X-\mu_X \\ \bar Y-\mu_Y\end{array}\right) \rightarrow N\left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), \left( \begin{array}{cc} \sigma_{XX} & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{YY} \end{array} \right) \right)$

r = \bar{Y} / \bar{X}

$r=\bar Y/\bar X$

r_{o} = μ_{Y} / μ_{X}

$r_o = \mu_Y/\mu_X$

\sqrt{n} (r - r_{0}) \to N (0, \frac{μ_{Y}^{2}}{μ_{X}^{4}} σ_{X X} - 2 \frac{μ_{Y}}{μ_{X}^{3}} σ_{X Y} + \frac{1}{μ_{X}^{2}} σ_{Y Y})

$\sqrt{n}(r-r_0) \to N(0,\frac{\mu_Y^2}{\mu_X^4}\sigma_{XX} - 2\frac{\mu_Y}{\mu_X^3}\sigma_{XY} + \frac1{\mu_X^2}\sigma_{YY})$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X Y}

$\sigma_{XY}$

{C V}^{2} [r] = {C V}^{2} [\bar{X}] + {C V}^{2} [\bar{Y}]

${\rm CV}^2[r] = {\rm CV}^2[\bar X] + {\rm CV}^2[\bar Y]$

z

$z$

H_{0} :

$H_0:$

Espero que você possa pegá-lo de lá e realizar os cálculos restantes do verso do envelope para obter a fórmula final.

$r$ $r_0$ $O(1/n)$ $O(1/\sqrt{n})$

StasK
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Obrigado pela resposta excelente e esclarecedora! Acho que vou escolher o teste de permutação de jbowban para os meus estudos porque acho que o compreendo e suas limitações melhor, mas o método delta definitivamente parece algo que preciso estudar e descobrir.

Sami Liedes

@stask isso poderia ser feito aqui? stats.stackexchange.com/questions/398436/…

Xavier Bourret Sicotte,

Xavier, acho que @ usεr11852 deu uma boa resposta. Não vou me incomodar em adicionar isso.

StasK 21/03/19

@StasK - sob quais condições as condições que você declara na sua resposta são válidas? A convergência da estatística de razão é garantida pelo pressuposto anterior e pelo método Delta?

Xavier Bourret Sicotte

É assintótico ... nada é garantido e é difícil obter limites de erro. Todo o método delta (ou qualquer outro resultado de convergência fraco) está dizendo: à medida que você aumenta o tamanho da amostra, a diferença entre a distribuição finita real da amostra e a distribuição assintótica fica menor. Isso pode significar que, à medida que você aumenta o tamanho da amostra de 1000 para 10000, a diferença vertical entre os cdfs diminui de 0,2 para 0,1, e o último ainda é inaceitável para fins práticos. Ou pode significar que a diferença vai de 0,01 a 0,001.

StasK

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A razão de variáveis normais é distribuída Cauchy. Sabendo disso, você pode simplesmente executar um Teste do fator Bayes.

Essa foi uma ideia bastante espontânea. Agora não tenho certeza sobre o mecanismo de geração de dados. Você instala sistemas de arquivos diferentes no mesmo PC e depois faz a comparação dos dois casos, para que possamos assumir uma estrutura hierárquica de dados?

Também não tenho certeza se as taxas de procura realmente fazem sentido.

E então você escreveu a proporção dos valores esperados, enquanto eu pensava no valor esperado das proporções. Acho que preciso de mais informações sobre a geração de dados antes de prosseguir.

joint_p
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A proporção de normais é apenas Cauchy se (a) forem independentes e (b) tiverem a mesma variação.

cardeal

Xi'an tinha o mesmo pensamento que eu acho ...

joint_p

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Não está claro (pelo menos para mim) que existe essa estrutura de independência ou que elas terão média zero. Talvez, se você puder expandir sua resposta, isso ajudará a tornar mais clara a abordagem que você está sugerindo. :)

cardeal

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@ cardinal - Eu pensei que era uma proporção de normais independentes com média zero e cauchy com mediana zero e parâmetro de escala igual à proporção dos desvios padrão normais. Se eles têm média diferente de zero, então não é cauteloso.

probabilityislogic

@ pro: (+1) Você está certo! Obrigado por capturar isso. Abandonei o "padrão" e a "média zero" no meu primeiro comentário (este último conseguiu fazer o meu segundo).

cardeal

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Nos casos em que você não pode executar permutações, por exemplo, quando o tamanho da amostra cria milhões de possibilidades, outra solução seria a reamostragem de Monte Carlo.

$ext4$ $xfs$ $nocrypto$ $crypto$ $\frac{ext4}{xfs}$ $nocrypto$ $crypto$

$H_{0}:T_{observed}=\frac{\sum x_{nocrypto} }{n_{nocrypto}}-\frac{\sum x_{crypto} }{n_{crypto}}=0$

$x=\frac{ext4}{xfs}$

$n=sample\, size$

$H_{0}$ $nocrypto$ $crypto$ $T_{observed}=0$

$T_{resampling}=\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{nocrypto}}-\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{crypto}}$

$T_{resampling}$ $H_{0}$ $nocrypto$ $crypto$ $T_{observed}$ $(p < 0.05)$ $T_{resampling}$

user1979481
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