Distribuição condicional da variável aleatória uniforme dada a estatística da ordem

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Tenho a seguinte pergunta em mãos:

Suponha que são variáveis aleatórias iid , seguindo Unif . qual é a distribuição condicional de dado ?U,V(0,1)UZ:=max(U,V)

Tentei escrever Z=IV+(1I)U onde I={1U<V0U>V

Mas não estou chegando a lugar nenhum.

Qwerty
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Isso pode estar errado, mas aqui vai. Se U é o máximo, então U=Z . Caso contrário, U<V=Z , então U seria uniforme em [0,Z] . Os dois casos devem ter igual probabilidade, então U possui uma mistura das duas distribuições?
GeoMatt22

Respostas:

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Uma imagem pode ajudar. Distribuições uniformes independentes no intervalo podem ser consideradas uma distribuição uniforme no quadrado unitário . Eventos são regiões da praça e suas probabilidades são suas áreas.I 2 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ][0,1]I2=[0,1]×[0,1]

Figura

Seja qualquer valor possível de . O conjunto de coordenadas que forma as arestas superior e direita de um quadrado do lado . Seja um pequeno número positivo. O conjunto de coordenadas cujo máximo está entre e forma um espessamento estreito desse quadrado, conforme sombreado na figura. Sua área é a diferença das áreas de dois quadrados, um do lado e o outro do lado , de ondemax ( U , V ) ( U , V ) max ( U , V ) = z z d z ( U , V ) z z + d z z + d z zzmax(U,V)(U,V)max(U,V)=zzdz(U,V)zz+dzz+dzz

(1)Pr(zZz+dz)=(z+dz)2z2=2zdz+(dz)2.

Seja qualquer valor possível de : é marcado com uma linha tracejada vertical nas figuras. UuU

O painel esquerdo mostra um caso em que : A chance de ser a área à esquerda dessa linha (igual a ); mas o evento em que e está entre e é apenas a área sombreada em marrom. Como um retângulo, sua área é sua largura vezes sua altura . Portanto,U u u U u Z z z + d z u d zuzUuuUu Zzz+dzudz

(2)Pr(Uu,zZz+dz)=udz.

O painel direito mostra um caso em que . Agora, a chance de e consistir em dois retângulos. O de cima tem base e altura ; o da direita tem base e altura . PortantoU u z < Z z + d z u d z ( u - z ) z + d zz<uz+dzUuz<Zz+dzudz(uz)z+dz

(3)Pr(Uu,zZz+dz)=udz+(uz)(z+dz).

Por definição, as probabilidades condicionais são essas chances divididas pela chance total que , dada em acima. Divida e por esse valor. Permitir que seja infinitesimal e reter a parte padrão do resultado dá as chances condicionais de . Assim, quando ,( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) d z Z = z 0 u zzZz+dz(1)(2)(3)dzZ=z0uz

Pr(Uu|Z=z)=udz2zdz+(dz)2=u2z+dzu2z.

Quando , escreva para e calculeu = z + λ d z 0 < λ 1z<uz+dzu=z+λdz0<λ1

Pr(Uu|Z=z)=udz+(uz)(z+dz)2zdz+(dz)2=(z+λdz)dz+(λdz)(z+dz)2zdz+(dz)21+λ2.

Finalmente, para , a área marrom no painel direito cresceu para ser igual à área cinza, de onde a proporção é .1u>z+dz1

Esses resultados mostram que a probabilidade condicional cresce linearmente de a medida que cresce de a e dispara linearmente de a no intervalo infinitesimal entre e , então permanece em para todos os maiores . Aqui está um gráfico:z / ( 2 z ) = 1 / 2 u 0 z 1 / 2 1 z z + d z 1 u0z/(2z)=1/2u0z1/21zz+dz1u

Figura 2

Como é infinitesimal, não é mais possível distinguir visualmente de : o gráfico salta de uma altura de a .z z + d z 1 / 2 1dzzz+dz1/21

Reunindo o exposto em uma única fórmula a ser aplicada a qualquer para o qual , poderíamos escrever a função de distribuição condicional como0 < z 1z0<z1

FU|Z=z(u)={0u0u2z0<uz1u>z.

Esta é uma resposta completa e rigorosa. O salto mostra que uma função de densidade de probabilidade não descreverá adequadamente a distribuição condicional no valor . Em todos os outros pontos, porém, há uma densidade . É igual a para , para (a derivada de em relação a ) e para . Você pode usar uma "função generalizada" para escrever isso em uma forma semelhante à densidade. Seja a "densidade generalizada", dando um salto de magnitudef U | Z = z ( u ) 0 uU=zfU|Z=z(u)01 / ( 2 z ) 0 u < z u / ( 2 z ) u 0 u > z δ z 1 z z z 1u01/(2z)0u<zu/(2z)u0u>zδz1em : ou seja, é a "densidade" de um átomo de probabilidade unitária localizado em . Então a densidade generalizada em pode ser escrita para expressar o fato de que uma probabilidade de está concentrada em . Na íntegra, poderíamos escreverzzz1/2z12δz1/2z

fU|Z=z(u)={0u012z0<u<z12δz(u)u=z0u>z.
whuber
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Primeiro, considere a distribuição do máximo condicional em . O máximo se torna igual a no caso em que com probabilidade condicional . Caso contrário, leva algum valor superior a igual a . A distribuição condicional geral será assim uma mistura entre uma massa pontual em (do tamanho u) e uma densidade uniforme em (integrando a ). Representando a massa pontual pela função delta Dirac, a função densidade de probabilidade generalizada (gpdf) dessa distribuição condicional é U = u Z u V < uZU=uZuV<uZ u V u ( u , 1 )uZuVu(u,1)f Z | U = u ( z ) = u δ ( z - u ) + { 1 para  u < z < 1 0 caso contrário . Z U f Z , U ( z ,1u

fZ|U=u(z)=uδ(zu)+{1for u<z<10otherwise.
A gpdf conjunta de e é então O pdf do máximo é . Portanto, o gpdf condicional de dado o máximo de torna-se ZUfZ(z)=2zUZ f U | Z = z ( u )
fZ,U(z,u)=fZ|U=u(z)fU(u)=uδ(zu)+{1for 0<u<z<10otherwise.
fZ(z)=2zUZz(0,z)
fU|Z=z(u)=fZ,U(z,u)fZ(z)=12δ(zu)+{12zfor 0<u<z0otherwise,
zcom probabilidade 1/2 e uma densidade uniforme em integrando a 1/2.(0,z)
Jarle Tufto
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Bem, +1 pela sua grande ajuda! Mas eu tenho um problema .. Eu não sei a função DIRAC DELTA. ... Então, isso pode ser feito sem ele?
Qwerty
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Eu não sei. Parece uma maneira conveniente de representar uma distribuição que é parte discreta e parte contínua. Um tópico em math.stackexchange tem algumas discussões adicionais.
Jarle Tufto 27/08/16