Distribuição condicional da variável aleatória uniforme dada a estatística da ordem

Tenho a seguinte pergunta em mãos:

Suponha que são variáveis aleatórias iid , seguindo Unif . qual é a distribuição condicional de dado ?$U,V$$(0,1)$$U$$Z:=\max(U,V)$

Tentei escrever $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ onde $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Mas não estou chegando a lugar nenhum.

Uma imagem pode ajudar. Distribuições uniformes independentes no intervalo podem ser consideradas uma distribuição uniforme no quadrado unitário . Eventos são regiões da praça e suas probabilidades são suas áreas.I 2 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 $[0,1]$$I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Seja qualquer valor possível de . O conjunto de coordenadas que forma as arestas superior e direita de um quadrado do lado . Seja um pequeno número positivo. O conjunto de coordenadas cujo máximo está entre e forma um espessamento estreito desse quadrado, conforme sombreado na figura. Sua área é a diferença das áreas de dois quadrados, um do lado e o outro do lado , de ondemax ( U , V ) ( U , V ) max ( U , V ) = z z d z ( U , V ) z z + d z z + d z $z$$\max(U,V)$$(U,V)$$\max(U,V)=z$$z$$dz$$(U,V)$$z$$z+dz$$z+dz$$z$

$$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$$

Seja qualquer valor possível de : é marcado com uma linha tracejada vertical nas figuras. $u$$U$

O painel esquerdo mostra um caso em que : A chance de ser a área à esquerda dessa linha (igual a ); mas o evento em que e está entre e é apenas a área sombreada em marrom. Como um retângulo, sua área é sua largura vezes sua altura . Portanto,U ≤ u u U ≤ u Z z z + d z u d $u \le z$$U\le u$$u$$U\le u$ $Z$$z$$z+dz$$u$$dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$$

O painel direito mostra um caso em que . Agora, a chance de e consistir em dois retângulos. O de cima tem base e altura ; o da direita tem base e altura . PortantoU ≤ u z < Z ≤ z + d z u d z ( u - z ) z + d $z \lt u \le z+dz$$U \le u$$z \lt Z \le z+dz$$u$$dz$$(u-z)$$z+dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$$

Por definição, as probabilidades condicionais são essas chances divididas pela chance total que , dada em acima. Divida e por esse valor. Permitir que seja infinitesimal e reter a parte padrão do resultado dá as chances condicionais de . Assim, quando ,( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) d z Z = z 0 ≤ u ≤ $z \le Z \le z+dz$$(1)$$(2)$$(3)$$dz$$Z=z$$0 \le u \le z$

$$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$$

Quando , escreva para e calculeu = z + λ d z 0 < λ ≤ $z \lt u \le z+dz$$u = z + \lambda dz$$0 \lt \lambda \le 1$

$$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$$

Finalmente, para , a área marrom no painel direito cresceu para ser igual à área cinza, de onde a proporção é .$u \gt z+dz$$1$

Esses resultados mostram que a probabilidade condicional cresce linearmente de a medida que cresce de a e dispara linearmente de a no intervalo infinitesimal entre e , então permanece em para todos os maiores . Aqui está um gráfico:z / ( 2 z ) = 1 / 2 u 0 z 1 / 2 1 z z + d z 1 $0$$z/(2z)=1/2$$u$$0$$z$$1/2$$1$$z$$z+dz$$1$$u$

Como é infinitesimal, não é mais possível distinguir visualmente de : o gráfico salta de uma altura de a .z z + d z 1 / 2 $dz$$z$$z+dz$$1/2$$1$

Reunindo o exposto em uma única fórmula a ser aplicada a qualquer para o qual , poderíamos escrever a função de distribuição condicional como0 < z ≤ $z$$0 \lt z \le 1$

$$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$$

---

Esta é uma resposta completa e rigorosa. O salto mostra que uma função de densidade de probabilidade não descreverá adequadamente a distribuição condicional no valor . Em todos os outros pontos, porém, há uma densidade . É igual a para , para (a derivada de em relação a ) e para . Você pode usar uma "função generalizada" para escrever isso em uma forma semelhante à densidade. Seja a "densidade generalizada", dando um salto de magnitudef U | Z = z ( u ) 0 $U=z$$f_{U|Z=z}(u)$$0$1 / ( 2 z ) 0 ≤ u < z u / ( 2 z ) u 0 u > z δ z 1 z z z $u\le 0$$1/(2z)$$0 \le u \lt z$$u/(2z)$$u$$0$$u \gt z$$\delta_z$$1$em : ou seja, é a "densidade" de um átomo de probabilidade unitária localizado em . Então a densidade generalizada em pode ser escrita para expressar o fato de que uma probabilidade de está concentrada em . Na íntegra, poderíamos escrever$z$$z$$z$1/2$\frac{1}{2}\delta_z$$1/2$$z$

$$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$$

Primeiro, considere a distribuição do máximo condicional em . O máximo se torna igual a no caso em que com probabilidade condicional . Caso contrário, leva algum valor superior a igual a . A distribuição condicional geral será assim uma mistura entre uma massa pontual em (do tamanho u) e uma densidade uniforme em (integrando a ). Representando a massa pontual pela função delta Dirac, a função densidade de probabilidade generalizada (gpdf) dessa distribuição condicional é U = u Z u V < $Z$$U=u$$Z$$u$$V<u$Z u V u ( u , 1 $u$$Z$$u$$V$$u$$(u,1)$f Z | U = u ( z ) = u δ ( z - u ) + { 1 para  u < z < 1 0 caso contrário . Z U f Z , U ( z $1-u$

$$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$$ A gpdf conjunta de e é então O pdf do máximo é . Portanto, o gpdf condicional de dado o máximo de torna-se $Z$$U$fZ(z)=2zUZ f U | Z = z ( u $$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$$ $f_Z(z)=2z$$U$$Z$z(0,z $$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$$ $z$com probabilidade 1/2 e uma densidade uniforme em integrando a 1/2.$(0,z)$