O texto econométrico afirma que convergência na distribuição implica convergência em momentos

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O seguinte lema pode ser encontrado na Econometria de Hayashi :

Lema 2.1 (convergência na distribuição e nos momentos): Seja o ésimo momento de e onde \ alpha_ {s} é finito (ou seja, um número real). Então:αsnsznlimnαsn=αsαs

" zndz " " αs é o s ésimo momento de z ."

Assim, por exemplo, se a variação de uma sequência de variáveis ​​aleatórias convergindo na distribuição converge para algum número finito, esse número é a variação da distribuição limitadora

Tanto quanto eu entendo, não há suposições adicionais sobre zn que podem ser inferidas a partir do contexto. Agora considere uma sequência de variáveis ​​aleatórias definidas por zn=n1[0,1n] em uma medida uniforme de probabilidade em [0,1] .

Então znd0 , mas (n) E(zn)=110=E(0) .

Se estou lendo o lema acima corretamente, {zn} fornece um contra-exemplo.

Pergunta: O lema é falso? Existe um resultado relacionado que especifique condições gerais sob as quais convergência na distribuição implica convergência em momentos?

hilberts_drinking_problem
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Respostas:

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Uma condição adicional suficiente é a de integrabilidade uniforme , isto é, que Então, percebe-se que é integrável e .

limMsupn|Xn|>M|Xn|dP=limMsupnE[|Xn|1|Xn|>M]=0.
XlimnE[Xn]=E[X]

Heuristicamente, essa condição exclui que ainda existem contribuições "extremas" à integral (expectativa) assintoticamente.

Agora, isso é exatamente o que acontece no seu contra-exemplo, pois - não importa a probabilidade de desaparecer - pode assumir o valor divergente . Um pouco mais precisamente, para todo . Portanto, não converge uniformemente para zero, pois não podemos encontrar um tal que para todos os , todos e todos .znnE[|zn|1{|zn|>M}]=E[zn1{zn>M}]=1n>ME[zn1{zn>M}]NE[zn1{zn>M}]<ϵnNϵ>0M

Uma condição suficiente para uma integrabilidade uniforme é para alguns .

supnE[|Xn|1+ϵ]<
ϵ>0

E embora não satisfazer a condição suficiente não seja prova de falta de integrabilidade uniforme, é ainda mais direto verificar que essa condição não é satisfeita, pois que evidentemente não tem um finito acima de .

E[|Xn|1+ϵ]=nϵ,
supn
Christoph Hanck
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De fato, é uma errata conhecida deste livro (veja seu site na errata .pdf), que o lema específico não indica a condição de limite de momento

δ:E(|zn|s+δ)<M<n
Alecos Papadopoulos
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