Como o valor esperado se relaciona com média, mediana etc. em uma distribuição não normal?

Como o valor esperado de uma variável aleatória contínua se relaciona com sua média aritmética, mediana etc. em uma distribuição não normal (por exemplo, inclinação normal)? Estou interessado em quaisquer distribuições comuns / interessantes (por exemplo, log-normal, distribuições bi / multimodais simples, qualquer outra coisa estranha e maravilhosa).

Estou procurando principalmente respostas qualitativas, mas quaisquer respostas quantitativas ou formuladas também são bem-vindas. Eu particularmente gostaria de ver quaisquer representações visuais que tornem isso mais claro.

(parcialmente convertido do meu comentário agora excluído acima)

O valor esperado e a média aritmética são exatamente a mesma coisa. A mediana está relacionada à média de uma maneira não trivial, mas você pode dizer algumas coisas sobre a relação delas:

• quando uma distribuição é simétrica, a média e a mediana são as mesmas

• quando uma distribuição é distorcida negativamente, a mediana geralmente é maior que a média

• quando uma distribuição é inclinada positivamente, a mediana geralmente é menor que a média

$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$

Não é difícil ver que o produto da média harmônica e aritmética produz o quadrado da média geométrica, ou seja,

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

$X$$X$$X$

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

Além disso, a bem conhecida desigualdade HM-GM-AM

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

pode ser expresso como

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

Para completar, também existem distribuições para as quais a média não está bem definida. Um exemplo clássico é a distribuição de Cauchy ( esta resposta tem uma boa explicação do porquê). Outro exemplo importante é a distribuição de Pareto com expoente menor que 2.

Embora seja correto que matematicamente a média e o valor esperado sejam definidos de forma idêntica, para uma distribuição distorcida, essa convenção de nomenclatura se torna enganosa.

Imagine que você está perguntando a um amigo sobre os preços das moradias na cidade dela, porque você realmente gosta lá e pensa em mudar para essa cidade.

Se a distribuição de prêmios de habitação foram unimodal e simétrica, em seguida, seu amigo pode dizer o preço médio de casas e na verdade você pode esperar para encontrar a maioria das casas no mercado em torno dessa média valor.

No entanto, se a distribuição dos preços da habitação for unimodal e inclinada, por exemplo, inclinada para a direita com a maioria das casas na faixa de preço mais baixa para a esquerda e apenas algumas casas exorbitantes à direita, a média será "inclinada" para os preços altos em o certo.

Para esta distribuição unimodal e distorcida dos preços das casas, você pode esperar encontrar a maioria das casas no mercado em torno da mediana .