Quais são as propriedades de uma distribuição meia Cauchy?

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Atualmente, estou trabalhando em um problema, no qual preciso desenvolver um algoritmo de Monte Carlo em cadeia de Markov (MCMC) para um modelo de espaço de estado.

Para poder resolver o problema, recebi a seguinte probabilidade de : p ( τ ) = 2I ( τ > 0) / (1+ τ 2 ). sendo o desvio padrão de .ττττ2xτx

Então agora eu sei que é uma distribuição meio Cauchy, porque eu a reconheço de ver exemplos e, porque me disseram isso. Mas não entendo completamente por que é uma distribuição "Half-Cauchy" e quais propriedades vêm com ela.

Em termos de propriedades, não tenho certeza do que quero. Eu sou bastante novo nesse tipo de teoria da econometria. Portanto, é mais para mim entender a distribuição e como usamos em um contexto de modelo de espaço de estado. O modelo em si é assim:

yt=xt+etxt+1=xt+at+1at+1 N(0,τ2)p(σ2)1/σ2p(τ)=2I(τ>0)π(1+τ2)

Edit: eu incluí em p ( ). Obrigado por apontar isto.τπτ

Christoph
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Indique em quais propriedades você está interessado: afinal, existem infinitamente muitas que se poderia descrever.
whuber
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As meias distribuições de distribuições simétricas têm o dobro da altura funcional da área para seu intervalo, cujo intervalo é um intervalo médio, geralmente mas não necessariamente começando em zero . x0
Carl

Respostas:

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Um meio-Cauchy é uma das metades simétricas da distribuição de Cauchy (se não for especificado, é a metade direita que se destina):

Lote de densidades de Cauchy e meio-Cauchy

121π

O meio-Cauchy tem muitas propriedades; algumas são propriedades úteis que podemos desejar anteriormente.

Uma escolha comum para um parâmetro anterior em uma escala é a gama inversa (não menos importante, porque é conjugada em alguns casos familiares). Quando um prévio pouco informativo é desejado, valores de parâmetro muito pequenos são usados.

O meio Cauchy é bastante pesado e também pode ser considerado pouco informativo em algumas situações. Gelman ([1] por exemplo) defende metade dos t anteriores (incluindo o meio Cauchy) sobre a gama inversa, porque eles têm um melhor comportamento para valores pequenos de parâmetros, mas o consideram fracamente informativo quando um parâmetro de grande escala é usado *. Gelman concentrou-se mais no meio-Cauchy nos últimos anos. O artigo de Polson e Scott [2] fornece razões adicionais para escolher o meio-Cauchy em particular.

* Sua postagem mostra um meio Cauchy padrão. Gelman provavelmente não escolheria isso antes. Se você não tem nenhum sentido em toda a escala, isso significa dizer que é provável que a escala esteja acima de 1 como abaixo de 1 (que pode ser o que você deseja), mas não se encaixaria em algumas das coisas que Gelman está argumentando. para.

[1] A. Gelman (2006),
"Distribuições anteriores para parâmetros de variância em modelos hierárquicos"
Bayesian Analysis , vol. 1, N. 3, pp. 515-533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson e JG Scott (2012),
"On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter"
Análise Bayesiana , vol. 7, No. 4, pp. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

Glen_b -Reinstate Monica
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@Glen_b, qual é a localização no half-Cauchy na sua resposta?
rnorouzian
@morouzian em qual medida de localização você está interessado? Considerado como membro de uma família de escala de localização, o formulário padrão em discussão possui uma localização de 0 e uma escala de 1, mas não tenho certeza se é isso que você está perguntando. (Sua mediana é 1, conforme sugerido perto do final da minha resposta, se isso ajudar).
Glen_b -Reinstate Monica