O que é uma amostra de uma variável aleatória?

Variável aleatória é definida como uma função mensurável de um -álgebra com a medida subjacente para outro -álgebra .$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

Como falamos sobre uma amostra dessa variável aleatória? Nós o tratamos como um elemento de ? Ou como a mesma função mensurável que ?$X^n$$\Omega_2$$X$

Onde posso ler mais sobre isso?

Exemplo:

Na estimativa de Monte Carlo, provamos a imparcialidade do estimador considerando as amostras como as funções. Se uma expectativa de uma variável aleatória for definida como$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

e assumindo que são funções e , podemos proceder da seguinte maneira:$X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

Se fosse apenas um elemento de , não poderíamos ter escrito o último conjunto de equações.$X^n$$\Omega_2$

Uma amostra é uma função mensurável a partir de a . Uma realização dessa amostra é o valor obtido pela função , .$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

Ao declarar

assumindo que são funções e$X^n$$X^n=X$

As funções são todas funções diferentes, o que significa que as imagens podem ser diferentes para um determinado . Quando a amostra é iid (independente e identicamente distribuída), as funções são diferentes, com duas propriedades adicionais$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. distribuição idêntica, significando que para todos os conjuntos mensuráveis em ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. independência, o que significa que para todos os conjuntos mensuráveis em$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

Sua definição

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

está incorreto: deve ser

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

A amostra pode ser retirada da população , não da variável aleatória. "Amostra de variáveis ​​aleatórias" é uma maneira simplificada de dizer que temos uma amostra retirada da população, que assumimos ser variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica. Portanto, essa amostra se comporta como variáveis ​​aleatórias. É ambíguo porque combina terminologia usada em probabilidade e estatística. O mesmo ocorre com a simulação, onde as amostras são retiradas da distribuição comum . Nos dois casos, a amostra são os dados$n$$n$$n$Você tem. As amostras são consideradas como variáveis ​​aleatórias porque processos aleatórios levam a desenhá-las. Eles são distribuídos de forma idêntica, pois são provenientes de distribuição comum. Para lidar com amostras, temos estatísticas, enquanto as estatísticas usam uma descrição abstrata e matemática dos seus problemas em termos da teoria das probabilidades, portanto a terminologia é mista. Variáveis ​​aleatórias são funções que atribuem probabilidades a eventos que podem ser encontrados em suas amostras.