Qual é a diferença entre variável aleatória e amostra aleatória?

Essas duas expressões me confundiram muito quando eu estava aprendendo estatística. Parece-me que são coisas totalmente diferentes.

Uma amostra aleatória é coletar aleatoriamente uma amostra de uma população, enquanto uma variável aleatória é como uma função que mapeia o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento para um número real.

No entanto, digamos que se eu tirar algumas amostras , , e , onde e são desconhecidos, são , , amostras aleatórias ou variáveis ​​aleatórias?$X_1$$X_2$$X_3$$X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$X_1$$X_2$$X_3$

Sim, uma variável aleatória , , é uma função do espaço de amostra para a linha real. Essa é uma fórmula determinística que pode ser tão simples quanto escrever o número em que um dado cai no experimento aleatório de jogar um dado. O experimento é aleatório, da maneira que não controlamos muitos dos fatores físicos que determinam seu resultado; no entanto, assim que o dado cai, a variável aleatória mapeia o resultado no mundo físico para um número.$X:\Omega \rightarrow \mathbb R$

Outros exemplos incluem a medição da altura de uma amostra de oito graduadoras, talvez para inferir os parâmetros populacionais (incluindo média e variância). Cada menino ou menina seria um experimento aleatório, como jogar uma moeda. No entanto, uma vez que um sujeito é selecionado, o mapeamento real para um número em polegadas ou centímetros não está sujeito à aleatoriedade, apesar do nome de "variável aleatória".

Um grupo de tais experiências constituiria uma amostra :

Nas estatísticas, uma amostra aleatória simples é um subconjunto de indivíduos (uma amostra) escolhido de um conjunto maior (uma população). Cada indivíduo é escolhido aleatoriamente e inteiramente por acaso, de modo que cada indivíduo tenha a mesma probabilidade de ser escolhido em qualquer estágio do processo de amostragem, e cada subconjunto de indivíduos tenha a mesma probabilidade de ser escolhido para a amostra que qualquer outro subconjunto de indivíduos.$k$$k$

Eu acho que no OP são uma amostra de uma distribuição normal (embora você não tenha , acho que essa era a intenção), e cada um dos é uma realização de a variável aleatória.$\{X_1, X_2, X_3\}$$X_i$

Aqui está um post idêntico no Quora e um post paralelo no Math SE .

Além disso, recomendo vivamente a série de palestras da professora Krishna Jagannathan, do IIT. Ele é formado no MIT e tem a série mais acessível on-line sobre probabilidade, introduzindo suavemente a teoria da medida. Maravilhoso!

No exemplo da OP, cada amostra aleatória é uma observação da mesma variável aleatória . Amostra aleatória é uma observação de uma variável aleatória. Variável aleatória é uma função que mapeia o espaço de amostra para números reais. $X_i$$X$