Estimativas de parâmetros para a distribuição triangular

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Uma pergunta foi postada aqui (agora excluída) em relação à estimativa dos parâmetros da distribuição triangular , que possui densidade

f(x;a,b,c)={0for x<a,2(xa)(ba)(ca)for axc,2(bx)(ba)(bc)for c<xb,0for b<x.

Mas vale a pena fazer a pergunta, então eu mesmo estou fazendo a pergunta.

Quais são as boas maneiras de estimar os parâmetros para esta distribuição?

A discussão sobre MLE é boa, mas outros estimadores podem dar respostas proveitosas.


Nota 1: Muitos documentos relacionados com PERT parecem uso e para estimar e e, em seguida, (já que) Método uso de momentos para . Se você advogar essa abordagem em particular, alguma discussão sobre eficiência seria mais útil, mas pelo menos algum motivo para a escolha (ou semelhante) seria importante.X(1)X(n)abc


Nota 2:

[Talvez esse deva ser o início de uma resposta, mas eu a colocarei aqui como orientação sobre as respostas relacionadas ao ML no momento.]

Observe que, para a configuração do MLE, as derivadas da probabilidade de log como zero não funcionarão.

Por exemplo, para conhecer e (que WLOG podemos tomar como 0,1 por simples rescaling), ver a discussão sobre MLE para aqui: MLE para distribuição triângulo? .abc

Além disso, em geral, o ML estima para os parâmetros e não são as estatísticas de ordem extrema. Veja, por exemplo, aqui (1)ab

(1) Kotz, Samuel e Johan Rene van Dorp (2004),
The Triangular Distribution, (Capítulo 1)
Beyond Beta - Outras famílias contínuas de distribuições com suporte e aplicações limitadas,
World Scienti fi c, NJ
( capítulo de amostra )

Glen_b -Reinstate Monica
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Respostas:

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Usando as estatísticas de ordem extrema como estimadores para os limites usandoa,b

E(X)=a+b+c3

estimar pelo método dos momentos é tão ... irritantemente fácil,c

a^=X(1),b^=X(n),c^=3X¯a^b^
isso me fez pensar em como eu poderia começar estimando primeiro, apenas pela reviravolta. . Aqui está, mas ainda não possui, nenhuma propriedade do estimador. Vou criar este wiki da comunidade, caso alguém esteja interessado em trabalhar mais.c

1) Obtenha os quartis empíricos e forme o intervalo interquartilq^1,q^3IQR=q^3q^1

2) Use a regra Friedman-Diaconis para armazenar os dados.

Bin size=2IQRn1/3

3) Forme o histograma empírico e calcule como o ponto médio do compartimento com a maior frequência empírica. c^

4) Em seguida, resolva para o sistema de equaçõesa,b

q1=a+(ca)(ba)2
q3=b+(bc)(ba)2

usando as estimativas (as expressões inversas do CDF que tirei do capítulo do livro ao qual o OP vincula, página 8).q^1,q^3,c^

Alecos Papadopoulos
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