Distribuição amostral da média de um Beta

Digamos que temos . Qual é a distribuição amostral de sua amostra?$X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$

Em outras palavras, que distribuição a amostra significa $\bar{X}$ de uma versão beta segue?

Nota: consulte também para a mesma pergunta /math/85535/sum-of-niid-beta-distributed-variables

Para o caso de uma distribuição uniforme, , a distribuição da soma de um número de variáveis ​​independentes (e a média está relacionada) foi descrita como a distribuição de Irwin-Hall .$\text{Beta}(1,1)$

Se

$$X_n = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(1,1)$$

então você tem uma spline de grau$n-1$

$$f_X(x;n) = \frac{1}{(n-1)!} \sum_{j=0}^{n-1} a_j(k,n)x^j \quad \text{ for } \quad k \leq x \leq k+1$$

onde o pode ser descrito por uma relação de recorrência:$a_j(k,n)$

$$a_j(k,n) = \begin{cases} 1 & \quad k=0,j=n-1 \\ 0 & \quad k=0,j< n-1 \\ a_j(k-1,n) + (-1)^{n+k-j-1} {{n}\choose{k}} {{n-1}\choose{j}} k^{n-j-1} & \quad k>1 \end{cases}$$

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Você pode ver a fórmula acima como sendo construída por uma convolução repetida de com onde a integral é resolvida por partes. Podemos generalizar isso para variáveis ​​distribuídas Beta com qualquer e ?$X_{n-1}$$Y_n$$\alpha$$\beta$

Seja

$$X_n(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)$$

Esperamos que a função seja dividida em partes (embora possivelmente não seja mais um spline). A convolução para calcular a distribuição de será algo como:$f_X(x;n,\alpha,\beta)$$n$$X_{n}(\alpha,\beta) = X_{n-1}(\alpha,\beta)+U_n$

$$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \int^{\text{min}(1,x)}_{1-\text{min}(1,n-x)} f_X(x-y;n-1,\alpha,\beta) y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1} dy$$

• Para :$n=2$

  $$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \begin{cases} \int_{0\phantom{-x}}^{x} ((x-y)y)^{\alpha-1}((1-x+y)(1-y))^{\beta-1} dy & \quad \text{if $0 \leq x \leq 1$} \\ \int_{x-1}^{1} ((x-y)y)^{\alpha-1}((1-x+y)(1-y))^{\beta-1} dy & \quad \text{if $1 \leq x \leq 2$} \end{cases}$$

  • Para números inteiros e :$\alpha$$\beta$ os termos como e podem ser expandidos para valores inteiros de e , de modo que a integral seja fácil de resolver.$((x-y)y)^{\alpha-1}$$((1-x+y)(1-y))^{\beta-1}$$\alpha$$\beta$

    Por exemplo:

    $$\begin{array}{} f_X(x;2,2,2) &=& \begin{cases} \frac{1}{30} x^3(x^2-5x+5) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{30}(2-x)^3(x^2+x-1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases}\\ \\ f_X(x;2,3,3) &=& \begin{cases} \frac{1}{630} x^5(x^4-9x^3+30x^2-42x+21) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{630}(2-x)^5(x^4+x^3-2x+1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases} \end{array}$$

A solução para valores inteiros de e também será um spline. Possivelmente, isso poderia ser convertido em alguma fórmula agradável (ou provavelmente não tão agradável) para situações mais gerais (não apenas e ou ). Mas, nesse ponto, é preciso tomar algumas xícaras de café, ou melhor, uma infusão, para lidar com essas coisas.$\alpha$$\beta$$n=2$$\alpha=\beta=2$$\alpha=\beta=3$

Eu pensei que era uma pergunta interessante, então aqui está uma rápida exploração visual. Para , primeiro selecionei 4 distribuições Beta separadas (PDFs mostrados abaixo).$X\sim Beta(\alpha_1,\alpha_2)$

Em seguida, coletei amostras médias, e plotei os histogramas correspondentes, como mostrado abaixo. Os resultados parecem normais e estou inclinado a acreditar na afirmação de @ ChristophHanck de que o Teorema do Limite Central (CLT) está funcionando aqui. $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

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Código MATLAB

% Parameters
n = 5000;
K = 5000;
% Define Beta distributions
pd1 = makedist('Beta',0.25,0.45);
pd2 = makedist('Beta',0.25,2.5);
pd3 = makedist('Beta',4,0.15);
pd4 = makedist('Beta',3.5,5);
% Collect Sample Means
X1bar = zeros(K,1);
X2bar = zeros(K,1);
X3bar = zeros(K,1);
X4bar = zeros(K,1);
for k = 1:K                           % get K sample means 
    X1bar(k) = mean(random(pd1,n,1)); % take mean of n samples
    X2bar(k) = mean(random(pd2,n,1));
    X3bar(k) = mean(random(pd3,n,1));
    X4bar(k) = mean(random(pd4,n,1));
end
% Plot Beta distribution PDFs
Xsupport = 0:.01:1;

figure, hold on, box on
title('Beta(\alpha_1,\alpha_2) PDFs')
plot(Xsupport,pdf(pd1,Xsupport),'r-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd2,Xsupport),'b-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd3,Xsupport),'k-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd4,Xsupport),'g-','LineWidth',2.2)
legend('(0.25,0.45)','(0.25,2.5)','(4,0.15)','(3.5,5)')

figure
s(1) = subplot(2,2,1), hold on, box on
    histogram(X1bar,'FaceColor','r')
s(2) = subplot(2,2,2), hold on, box on
    histogram(X2bar,'FaceColor','b')
s(3) = subplot(2,2,3), hold on, box on
    histogram(X3bar,'FaceColor','k')
s(4) = subplot(2,2,4), hold on, box on
    histogram(X4bar,'FaceColor','g')
title(s(1),'(0.25,0.45)')
title(s(2),'(0.25,2.5)')
title(s(3),'(4,0.15)')
title(s(4),'(3.5,5)')

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Edit: Este post foi uma tentativa rápida de fornecer algo ao OP. Como apontado, sabemos que o Teorema Central do Limite (CLT) implica que esses resultados serão válidos para qualquer distribuição com uma variação finita.