Como obter a região da elipse a partir de dados distribuídos normais bivariados?

Eu tenho dados parecidos com:

Tentei aplicar a distribuição normal (a estimativa de densidade do kernel funciona melhor, mas não preciso de uma precisão tão grande) nela e funciona muito bem. O gráfico de densidade faz uma elipse.

Eu preciso que a função elipse decida se um ponto está dentro da região da elipse ou não. Como fazer isso?

Código R ou Mathematica são bem-vindos.

O Corsario fornece uma boa solução em um comentário: use a função de densidade do kernel para testar a inclusão em um conjunto de níveis.

Outra interpretação da questão é que ela solicita um procedimento para testar a inclusão nas elipses criadas por uma aproximação normal bivariada dos dados. Para começar, vamos gerar alguns dados que se parecem com a ilustração na pergunta:

library(mvtnorm) # References rmvnorm()
set.seed(17)
p <- rmvnorm(1000, c(250000, 20000), matrix(c(100000^2, 22000^2, 22000^2, 6000^2),2,2))

As elipses são determinadas pelo primeiro e segundo momentos dos dados:

center <- apply(p, 2, mean)
sigma <- cov(p)

A fórmula requer inversão da matriz de variância-covariância:

sigma.inv = solve(sigma, matrix(c(1,0,0,1),2,2))

A função "altura" da elipse é negativa do logaritmo da densidade normal bivariada :

ellipse <- function(s,t) {u<-c(s,t)-center; u %*% sigma.inv %*% u / 2}

(Eu ignorei uma constante aditiva igual a .)$\log(2\pi\sqrt{\det(\Sigma)})$

Para testar isso , vamos desenhar alguns de seus contornos. Isso requer a geração de uma grade de pontos nas direções x e y:

n <- 50
x <- (0:(n-1)) * (500000/(n-1))
y <- (0:(n-1)) * (50000/(n-1))

Calcule a função de altura nesta grade e plote-a:

z <- mapply(ellipse, as.vector(rep(x,n)), as.vector(outer(rep(0,n), y, `+`)))
plot(p, pch=20, xlim=c(0,500000), ylim=c(0,50000), xlab="Packets", ylab="Flows")
contour(x,y,matrix(z,n,n), levels=(0:10), col = terrain.colors(11), add=TRUE)

Evidentemente, funciona. Portanto, o teste para determinar se um ponto está dentro de um contorno elíptico no nível é$(s,t)$$c$

ellipse(s,t) <= c

O Mathematica faz o trabalho da mesma maneira: calcule a matriz de variância-covariância dos dados, inverta isso, construa a ellipsefunção e está tudo pronto.

A plotagem é direta com a ellipse()função do mixtoolspacote para R:

library(mixtools)
library(mvtnorm) 
set.seed(17)
p <- rmvnorm(1000, c(250000, 20000), matrix(c(100000^2, 22000^2, 22000^2, 6000^2),2,2))
plot(p, pch=20, xlim=c(0,500000), ylim=c(0,50000), xlab="Packets", ylab="Flows")
ellipse(mu=colMeans(p), sigma=cov(p), alpha = .05, npoints = 250, col="red") 

Primeira abordagem

Você pode tentar essa abordagem no Mathematica.

Vamos gerar alguns dados bivariados:

data = Table[RandomVariate[BinormalDistribution[{50, 50}, {5, 10}, .8]], {1000}];

Então precisamos carregar este pacote:

Needs["MultivariateStatistics`"]

E agora:

ellPar=EllipsoidQuantile[data, {0.9}]

fornece uma saída que define uma elipse de confiança de 90%. Os valores que você obtém dessa saída estão no seguinte formato:

{Ellipsoid[{x1, x2}, {r1, r2}, {{d1, d2}, {d3, d4}}]}

x1 e x2 especificam o ponto no qual a elipse no centro, r1 e r2 especificam os raios do semi-eixo, e d1, d2, d3 e d4 especificam a direção do alinhamento.

Você também pode traçar isso:

Show[{ListPlot[data, PlotRange -> {{0, 100}, {0, 100}}, AspectRatio -> 1],  Graphics[EllipsoidQuantile[data, 0.9]]}]

A forma paramétrica geral da elipse é:

ell[t_, xc_, yc_, a_, b_, angle_] := {xc + a Cos[t] Cos[angle] - b Sin[t] Sin[angle],
    yc + a Cos[t] Sin[angle] + b Sin[t] Cos[angle]}

E você pode plotá-lo desta maneira:

ParametricPlot[
    ell[t, ellPar[[1, 1, 1]], ellPar[[1, 1, 2]], ellPar[[1, 2, 1]], ellPar[[1, 2, 2]],
    ArcTan[ellPar[[1, 3, 1, 2]]/ellPar[[1, 3, 1, 1]]]], {t, 0, 2 \[Pi]},
    PlotRange -> {{0, 100}, {0, 100}}]

Você pode executar uma verificação com base em informações geométricas puras: se a distância euclidiana entre o centro da elipse (ellPar [[1,1]]) e seu ponto de dados for maior que a distância entre o centro da elipse e a borda da elipse a elipse (obviamente, na mesma direção em que seu ponto está localizado), esse ponto de dados está fora da elipse.

Segunda abordagem

Essa abordagem é baseada na distribuição suave do kernel.

Estes são alguns dados distribuídos de maneira semelhante aos seus dados:

data1 = RandomVariate[BinormalDistribution[{.3, .7}, {.2, .3}, .8], 500];
data2 = RandomVariate[BinormalDistribution[{.6, .3}, {.4, .15}, .8], 500];
data = Partition[Flatten[Join[{data1, data2}]], 2];

Obtemos uma distribuição suave do kernel nesses valores de dados:

skd = SmoothKernelDistribution[data];

Obtemos um resultado numérico para cada ponto de dados:

eval = Table[{data[[i]], PDF[skd, data[[i]]]}, {i, Length[data]}];

Fixamos um limite e selecionamos todos os dados que são maiores que esse limite:

threshold = 1.2;
dataIn = Select[eval, #1[[2]] > threshold &][[All, 1]];

Aqui temos os dados que ficam fora da região:

dataOut = Complement[data, dataIn];

E agora podemos plotar todos os dados:

Show[ContourPlot[Evaluate@PDF[skd, {x, y}], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}}, PlotPoints -> 50],
ListPlot[dataIn, PlotStyle -> Darker[Green]],
ListPlot[dataOut, PlotStyle -> Red]]

Os pontos de cor verde são aqueles acima do limite e os pontos de cor vermelha são aqueles abaixo do limite.

A ellipsefunção no ellipsepacote para R gerará essas elipses (na verdade, um polígono que se aproxima da elipse). Você poderia usar essa elipse.

O que pode ser realmente mais fácil é calcular a altura da densidade no seu ponto e ver se ela é maior (dentro da elipse) ou mais baixa (fora da elipse) do que o valor do contorno na elipse. As ellipsefunções internas usam um valor para criar a elipse, você pode começar por lá para encontrar a altura a ser usada.$\chi^2$

Encontrei a resposta em: /programming/2397097/how-can-a-data-ellipse-be-superimposed-on-a-ggplot2-scatterplot

#bootstrap
set.seed(101)
n <- 1000
x <- rnorm(n, mean=2)
y <- 1.5 + 0.4*x + rnorm(n)
df <- data.frame(x=x, y=y, group="A")
x <- rnorm(n, mean=2)
y <- 1.5*x + 0.4 + rnorm(n)
df <- rbind(df, data.frame(x=x, y=y, group="B"))

#calculating ellipses
library(ellipse)
df_ell <- data.frame()
for(g in levels(df$group)){
df_ell <- rbind(df_ell, cbind(as.data.frame(with(df[df$group==g,], ellipse(cor(x, y), 
                                         scale=c(sd(x),sd(y)), 
                                         centre=c(mean(x),mean(y))))),group=g))
}
#drawing
library(ggplot2)
p <- ggplot(data=df, aes(x=x, y=y,colour=group)) + geom_point(size=1.5, alpha=.6) +
  geom_path(data=df_ell, aes(x=x, y=y,colour=group), size=1, linetype=2)