Localizando o MLE para um processo exponencial univariado de Hawkes

O processo exponencial univariado de Hawkes é um processo de ponto emocionante com uma taxa de chegada de eventos de:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

onde são os horários de chegada do evento.$t_1,..t_n$

A função de probabilidade do log é

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

que pode ser calculado recursivamente:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Quais métodos numéricos posso usar para encontrar o MLE? Qual é o método prático mais simples de implementar?

O algoritmo simplex Nelder-Mead parece funcionar bem. Ele é implementado em Java pela biblioteca de matemática Apache Commons em https://commons.apache.org/math/ . Também escrevi um artigo sobre os processos de Hawkes no Point Process Models para dados multivariados de alta frequência e espaçamento irregular de irregularidade .

felix, o uso de transformadas exp / log parece garantir a positividade dos parâmetros. Quanto à pequena coisa alfa, pesquise no arxiv.org um artigo chamado "teoremas dos limites para processos de hawkes quase instáveis"

Resolvi esse problema usando a biblioteca nlopt . Encontrei vários métodos convergentes rapidamente.

Você também pode fazer uma maximização simples. Em R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)