Uma probabilidade de -2 Log pode ser calculada com apenas um modelo?

Estou usando a glmfitfunção no MATLAB. A função retorna apenas o desvio e não a probabilidade do log. Entendo que o desvio é basicamente o dobro da diferença entre as probabilidades de log dos modelos, mas o que não entendo é que estou apenas usando glmfitpara criar um modelo, mas de alguma forma estou obtendo um desvio.

• O cálculo da probabilidade -2 Log requer 2 modelos?
• Como o desvio pode ser analisado quando existe apenas um modelo?

Outra pergunta que tenho é dizer que eu tinha dois modelos e que os comparava usando o teste de probabilidade de log. A hipótese nula seria o primeiro modelo e a hipótese alternativa seria o segundo modelo. Depois de obter a estatística do teste de verossimilhança do log, eu a compararia com o chi quadrado cdf para determinar o valor de p? Estou certo de que, se for menor que o nível alfa, rejeitaria o nulo e, se for maior, falharia em rejeitar o nulo?

O termo estatístico desvio é jogado um pouco demais. Na maioria das vezes, os programas retornam o desvio

$$D(y) = -2 \log{\{p(y | \hat{\theta})\}},$$ Onde $\hat{\theta}$ é o (s) parâmetro (s) estimado (s) do ajuste do modelo e $y$ é alguma ocorrência potencialmente observada / observável da quantidade aleatória em questão.

O desvio mais comum a que você se refere trataria o desvio acima como uma função de duas variáveis, os dados e os parâmetros ajustados:

$$D(y,\hat{\theta}) = -2\log{\{p(y|\hat{\theta})\}}$$ e então se você tivesse um $y$ valor, mas dois valores de parâmetros ajustados concorrentes, $\hat{\theta}_{1}$ e $\hat{\theta}_{2}$, então você obteria o desvio que você mencionou $$-2(\log{\{p(y|\hat{\theta}_{1})\}} - \log{\{p(y|\hat{\theta}_{2})\}}).$$ Você pode ler sobre a função Matlab que você mencionou glmfit(), vinculada aqui . Uma discussão mais frutífera, embora mais curta, sobre o desvio está relacionada aqui .

A estatística de desvio implicitamente assume dois modelos: o primeiro é o seu modelo ajustado, retornado por glmfit(), chame esse vetor de parâmetro$\hat{\theta}_{1}$. O segundo é o "modelo completo" (também chamado de "modelo saturado"), que é um modelo no qual existe uma variável livre para cada ponto de dados, chame esse vetor de parâmetro$\hat{\theta}_{s}$. Ter tantas variáveis ​​livres é obviamente uma coisa estúpida, mas permite que você se ajuste exatamente a esses dados.

Portanto, a estatística de desvio é calculada como a diferença entre a probabilidade logarítmica calculada no modelo ajustado e no modelo saturado. Deixei$Y=\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{N}\}$seja a coleção dos N pontos de dados. Então:

$$DEV(\hat{\theta}_{1},Y) = -2\biggl[\log{p(Y|\hat{\theta}_{1})} - \log{p(Y|\hat{\theta}_{s})} \biggr].$$ Os termos acima serão expandidos em somas nos pontos de dados individuais $y_{i}$pela suposição de independência. Se você deseja usar esse cálculo para calcular a probabilidade de log do modelo, primeiro será necessário calcular a probabilidade de log do modelo saturado. Aqui está um link que explica algumas idéias para calcular isso ... mas o problema é que, em qualquer caso, você precisará anotar uma função que calcule a probabilidade de log para seu tipo de dados e, nesse caso, provavelmente é apenas melhor criar sua própria função que calcula a probabilidade de log, em vez de retroceder em um cálculo de desvio.

Veja o Capítulo 6 da Análise de Dados Bayesiana para uma boa discussão sobre desvio.

Quanto ao seu segundo ponto sobre a estatística do teste de probabilidade, sim, parece que você basicamente sabe a coisa certa a fazer. Mas, em muitos casos, você considerará a hipótese nula como algo que o conhecimento externo especializado permite adivinhar com antecedência (como um coeficiente igual a zero). Não é necessariamente algo que resulta do ajuste do modelo.