Como é , a coordenada polar, distribuída quando e quando ?

Sejam selecionadas as coordenadas cartesianas de um ponto aleatório st .$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Assim, o raio, , não é uniformemente distribuída como implícito 's pdf .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

No entanto, eu esperaria que seja quase uniforme, excluindo artefatos devido às 4 sobras nas bordas:$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

A seguir estão as funções de densidade de probabilidade calculadas graficamente de e : $\theta$$\rho$

Agora, se eu deixar ser distribuído st então parecerá distribuído uniformemente:x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

Por que não é uniforme quando e é uniforme quando ?( x , y ) ∼ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

O código do Matlab que eu usei:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Substituindo a 3ª linha: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);com r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;mudará a distribuição de de normal para uniforme.$(x,y)$

Você está se referindo a uma transformação de um par de variáveis ​​independentes para a representação polar (raio e ângulo) e, em seguida, olhando para a distribuição marginal de .( R , θ ) $(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Vou oferecer uma explicação um tanto intuitiva (embora uma derivação matemática da densidade faça essencialmente o que descrevo informalmente).

Observe que se você dimensionar as duas variáveis, X e Y em alguma escala comum (por exemplo, vá de U (-1,1) a U (-10,10) ou de N (0,1) a N (0,20) nas duas variáveis ​​ao mesmo tempo) que não faz diferença para a distribuição do ângulo (afeta apenas a escala da distribuição do raio). Então, vamos apenas considerar os casos unitários.

Primeiro, considere o que está acontecendo com o caso uniforme. Observe que a distribuição é uniforme sobre o quadrado da unidade, de modo que a densidade de probabilidade em uma região contida em é proporcional à área da região. Especificamente, observe a densidade associada a um elemento de ângulo, próximo à horizontal (próximo ângulo ) e na diagonal (próximo ângulo ): d θ θ = 0 θ = π /$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Claramente, o elemento de probabilidade (ou seja, área) correspondente a um elemento de ângulo ( ) é maior quando o ângulo está próximo a uma das diagonais. De fato, considere inscrever um círculo dentro do quadrado; a área abrangida por um determinado ângulo minúsculo dentro do círculo é constante e, em seguida, a parte externa do círculo cresce à medida que nos aproximamos da diagonal, onde está no máximo. d $df_\theta$$d\theta$

Isso explica completamente o padrão que você vê nas simulações.

De fato, podemos ver que a densidade deve ser proporcional ao comprimento do segmento, do centro do quadrado à sua aresta; a trigonometria simples é suficiente para derivar a densidade a partir daí e é fácil encontrar a constante necessária para integrar a densidade a 1.

[Editar: adicionado este próximo item para discutir o raio, pois a pergunta mudou desde a minha resposta original.]

Observe que, se tivéssemos uma distribuição uniforme sobre o círculo unitário (isto é, o que inscrevemos no quadrado anterior), a densidade do raio seria proporcional ao raio (considere a área de um pequeno elemento anular de largura em raio - isto é, entre e - tem área proporcional a ). Então, quando passamos para fora do círculo, novas regiões anulares com raio maior só recebem contribuições de densidade da parte do quadrado, então a densidade diminui (inicialmente muito rapidamente, depois mais lentamente) entre e . (Novamente, noções geométricas bastante simples são suficientes para obter a forma funcional da densidade, se necessário.)r r r + d r r 1 $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$$\sqrt 2$

Por outro lado, se a distribuição da junta é rotacionalmente simétrica em relação à origem, o elemento de probabilidade em algum ângulo não depende do ângulo (isso é essencialmente uma tautologia!). A distribuição bivariada de dois Gaussianos padrão independentes é simétrica em relação à origem:

(código para esta imagem com base no código de Elan Cohen aqui, mas há uma boa alternativa aqui , e algo entre os dois aqui )

Consequentemente, o volume contido em algum ângulo é o mesmo para todos os , de modo que a densidade associada ao ângulo é uniforme em .θ [ 0 , 2 π $d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[O truque polar normalmente usado para integrar a densidade normal sobre a linha real pode ser usado para descobrir que a densidade do raio ao quadrado é exponencial negativa e, a partir daí, a densidade do raio é simples de identificar por um simples argumento de transformação de a função de distribuição]

$X$$Y$$x-y$$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

$X$$Y$

$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

$f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

A região de interesse para a nossa pergunta é o setor vermelho neste desenho:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$\theta$

Verificação:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )