Como é , a coordenada polar, distribuída quando e quando ?

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Sejam selecionadas as coordenadas cartesianas de um ponto aleatório st .x,y(x,y)você(-10,10)×você(-10,10)

Assim, o raio, , não é uniformemente distribuída como implícito 's pdf .ρ=x2+y2ρ

No entanto, eu esperaria que seja quase uniforme, excluindo artefatos devido às 4 sobras nas bordas:θ=arctanyx

insira a descrição da imagem aqui

A seguir estão as funções de densidade de probabilidade calculadas graficamente de e : θρinsira a descrição da imagem aqui

Agora, se eu deixar ser distribuído st então parecerá distribuído uniformemente:x , y N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) θx,yx,yN(0 0,202)×N(0 0,202)θ

insira a descrição da imagem aqui

Por que não é uniforme quando e é uniforme quando ?( x , y ) U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 )θ(x,y)você(-10,10)×você(-10,10)x,yN(0 0,202)×N(0 0,202)

O código do Matlab que eu usei:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Substituindo a 3ª linha: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);com r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;mudará a distribuição de de normal para uniforme.(x,y)

0x90
fonte
5
A pergunta parece mais e mais bonita a cada edição e o título da pergunta é mais claro e conciso. Bem feito @ 0x90.
Michael R. Chernick
3
+1. É interessante que a distribuição normal seja a única que leva a ângulos uniformemente distribuídos (ou seja, a uma distribuição 2D simétrica rotacional), consulte stats.stackexchange.com/a/255417/28666 .
ameba diz Restabelecer Monica

Respostas:

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Você está se referindo a uma transformação de um par de variáveis ​​independentes para a representação polar (raio e ângulo) e, em seguida, olhando para a distribuição marginal de .( R , θ ) θ(X,Y)(R,θ)θ

Vou oferecer uma explicação um tanto intuitiva (embora uma derivação matemática da densidade faça essencialmente o que descrevo informalmente).

Observe que se você dimensionar as duas variáveis, X e Y em alguma escala comum (por exemplo, vá de U (-1,1) a U (-10,10) ou de N (0,1) a N (0,20) nas duas variáveis ​​ao mesmo tempo) que não faz diferença para a distribuição do ângulo (afeta apenas a escala da distribuição do raio). Então, vamos apenas considerar os casos unitários.

Primeiro, considere o que está acontecendo com o caso uniforme. Observe que a distribuição é uniforme sobre o quadrado da unidade, de modo que a densidade de probabilidade em uma região contida em é proporcional à área da região. Especificamente, observe a densidade associada a um elemento de ângulo, próximo à horizontal (próximo ângulo ) e na diagonal (próximo ângulo ): d θ θ = 0 θ = π / 4[1,1]2dθθ=0 0θ=π/4

insira a descrição da imagem aqui

Claramente, o elemento de probabilidade (ou seja, área) correspondente a um elemento de ângulo ( ) é maior quando o ângulo está próximo a uma das diagonais. De fato, considere inscrever um círculo dentro do quadrado; a área abrangida por um determinado ângulo minúsculo dentro do círculo é constante e, em seguida, a parte externa do círculo cresce à medida que nos aproximamos da diagonal, onde está no máximo. d θdfθdθ

Isso explica completamente o padrão que você vê nas simulações.

De fato, podemos ver que a densidade deve ser proporcional ao comprimento do segmento, do centro do quadrado à sua aresta; a trigonometria simples é suficiente para derivar a densidade a partir daí e é fácil encontrar a constante necessária para integrar a densidade a 1.

[Editar: adicionado este próximo item para discutir o raio, pois a pergunta mudou desde a minha resposta original.]

Observe que, se tivéssemos uma distribuição uniforme sobre o círculo unitário (isto é, o que inscrevemos no quadrado anterior), a densidade do raio seria proporcional ao raio (considere a área de um pequeno elemento anular de largura em raio - isto é, entre e - tem área proporcional a ). Então, quando passamos para fora do círculo, novas regiões anulares com raio maior só recebem contribuições de densidade da parte do quadrado, então a densidade diminui (inicialmente muito rapidamente, depois mais lentamente) entre e . (Novamente, noções geométricas bastante simples são suficientes para obter a forma funcional da densidade, se necessário.)r r r + d r r 1 drrrr+drr12


Por outro lado, se a distribuição da junta é rotacionalmente simétrica em relação à origem, o elemento de probabilidade em algum ângulo não depende do ângulo (isso é essencialmente uma tautologia!). A distribuição bivariada de dois Gaussianos padrão independentes é simétrica em relação à origem:

insira a descrição da imagem aqui

(código para esta imagem com base no código de Elan Cohen aqui, mas há uma boa alternativa aqui , e algo entre os dois aqui )

Consequentemente, o volume contido em algum ângulo é o mesmo para todos os , de modo que a densidade associada ao ângulo é uniforme em .θ [ 0 , 2 π )dθθ[0 0,2π)

[O truque polar normalmente usado para integrar a densidade normal sobre a linha real pode ser usado para descobrir que a densidade do raio ao quadrado é exponencial negativa e, a partir daí, a densidade do raio é simples de identificar por um simples argumento de transformação de a função de distribuição]

Glen_b -Reinstate Monica
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4
Os quatro picos na distribuição de são de fato devidos aos quatro cantos do quadrado . Observe que qualquer distribuição esférica simétrica levará à distribuição uniforme em , começando com os uniformes em esferas e círculos centralizados em . ( - 10 , 10 ) 2 θ ( 0 , 0 )θ(10,10)2θ(0,0)
Xian
2
+1. É interessante que a distribuição normal seja a única que leva a uma distribuição 2D simétrica rotacional, consulte stats.stackexchange.com/a/255417/28666 . Isso foi surpreendente para mim.
ameba diz Restabelecer Monica
3
@amoeba Sim, é a única distribuição simétrica circular que é o produto de margens independentes.
Glen_b -Reinstate Monica
2
Eu acho incrível. Considere mencioná-lo na sua resposta!
Ameba diz Reinstate Monica
6

XYx-yR=X2+Y2

XY

X=rporque(θ)Y=rpecado(θ)X2+Y2=r2θ(0 0,2π)rXY0 0

XN(0 0,1)YN(0 0,1)

f(x,y)=(1/2π)exp[(-[x2+y2])/2]g(r,θ)x=rpecado(θ)y=rporque(θ)r=x2+y2θ=arctan(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(-r2)/(2π)]r0 00 0θ2πrr1/(2π)

Michael R. Chernick
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O que isso significa é que, se você observar a altura da densidade bivariada a uma distância radial fixa do centro (neste caso, a origem), será o mesmo valor em todos os pontos desse círculo.
Michael R. Chernick
@ 0x90 Sim, seu link mostra uma maneira de ver isso: observar a forma quadrática no expoente da densidade. Portanto, em geral, para a configuração normal bivariada, o expoente de uma constante define os contornos da densidade constante e essa equação é uma de uma elipse. no caso especial, quando a matriz de covariância é uma matriz de identidade escalada, a elipse simplifica para um círculo.
Michael R. Chernick
2
X,Y0 0Cauchy(0 0,1)arctan arctan(X/Y)
1
@Francis Principalmente, aprecio sua edição completa de todas as minhas equações. Eu também quero dizer que o seu comentário acima mostra definitivamente uma abordagem criativa para resolver o problema de uniformidade com o teta. Estou certo de que alguns concordarão que é mais fácil.
Michael R. Chernick
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θ(X,Y)[-1,1]×[-1,1]14014

A região de interesse para a nossa pergunta é o setor vermelho neste desenho: quadrado com um setor sombreado

θθ+dθθθ+dθθ

θ[-π4,π4]π2

1porqueθ

1porque(θ+dθ)=1porqueθ+pecadoθporque2θdθ.

umabα12umabpecadoα

12(1porqueθ)(1porqueθ+pecadoθporque2θdθ)pecadodθ=dθ2porque2θ
dθpecadodθ=dθ

θ

18porque2θ
θ[-π4,π4]π2

Verificação:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )

histograma + densidade

Elvis
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