Duas variáveis aleatórias podem ter a mesma distribuição, mas ser quase certamente diferentes?

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É possível que duas variáveis aleatórias tenham a mesma distribuição e, no entanto, sejam quase certamente diferentes?

distributions probability HornetsFan
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Seja e defina . É fácil provar que . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Mas

P {ω : X (ω) = Y (ω)} = P {ω : X (ω) = 0, Y (ω) = 0} \leq P {ω : X (ω) = 0} = 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Portanto, e são diferentes com a probabilidade um. $X$ $Y$

zen
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18

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

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$X$ $Y$

De fato, duas variáveis aleatórias com a mesma distribuição não são necessariamente definidas no mesmo espaço de probabilidade; portanto, a questão não faz sentido em geral.

Stéphane Laurent
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3

(+1) Seu segundo ponto, em particular, é importante e, uma vez entendido, ajuda a elucidar as diferenças nos dois conceitos envolvidos.

cardeal

-1

$X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

RRBaldino
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Bem vindo ao nosso site. Você poderia esclarecer o sentido em que sua postagem responde à pergunta neste tópico e mostrar como ela difere da resposta dada por Zen (e o comentário do @Cardinal a essa resposta )?

whuber

Duas variáveis ​​aleatórias podem ter a mesma distribuição, mas ser quase certamente diferentes?

Respostas:

Duas variáveis aleatórias podem ter a mesma distribuição, mas ser quase certamente diferentes?