Identidade de funções geradoras de momento

Respostas:

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Sim.

Em um exercício, Stuart & Ord ( Teoria da Estatística Avançada Kendall .., 5ª Ed, Ex 3,12) citar resultado de TJ Stieltjes (que aparentemente aparece em seu livro de 1918 Oeuvres completes , ):

Se é uma função ímpar do período 1f , mostre que12

0xrxlogxf(logx)dx=0

para todos os valores integrais de . Portanto, mostre que as distribuiçõesr

dF=xlogx(1λsin(4πlogx)) dx,0x<;0|λ|1,

tenha os mesmos momentos, independentemente do valor de .λ

(No original, aparece apenas como λ ; a restrição no tamanho de λ decorre do requisito de manter todos os valores da função de densidade d F não negativos.) O exercício é fácil de resolver através da substituição x = exp ( y ) e completando o quadrado. O caso λ = 0 é a distribuição lognormal conhecida .|λ|λλdFx=exp(y)λ=0

enter image description here

λ=0λ=1/4λ=1/2

whuber
fonte
6
Mas a distribuição lognormal não tem uma função geradora de momento.
onestop 21/03
5
Esse é um ponto excelente, no topo, e eu tenho que concordar com isso. Fiz a pergunta no sentido de "ter o mesmo conjunto de momentos" e deveria ter apontado essa mudança de interpretação. Quando o mgf existe como uma função (e não apenas como uma série de potências formal), ele pode ser invertido para produzir uma densidade única à qual corresponde.
whuber
A sua não é verdade que a lognormal não tem MGF, a sua única que não é definida em um aberto intervalo contendo zero
b Kjetil Halvorsen
2
Para constar, eu e o @onestop discutimos implicitamente a existência de um mgf em um bairro de0 Esse sentido é frequentemente assumido porque um dos usos mais básicos de um mgf é expandir sua série MacLaurin (série Taylor em torno de 0 0) para calcular ou analisar os momentos e isso exige que a função seja definida em uma vizinhança, não apenas em 0
whuber
1
@ whuber: Tudo bem, mas parece ser compreendido implicitamente com tanta frequência que se esquece que os mgf também podem ser úteis. Consulte também (os links em) stats.stackexchange.com/questions/389846/…
kjetil b halvorsen