Aprendi que a distribuição normal padrão é única porque a média e a variação são fixadas em 0 e 1, respectivamente. Por esse fato, pergunto-me se duas variáveis aleatórias padrão devem ser independentes.
normal-distribution
independence
C.Hawk
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Respostas:
A resposta é não. Por exemplo, se é uma variável aleatória padrão, Y = - X segue as mesmas estatísticas, mas X e Y são claramente dependentes.X Y=−X X Y
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Não, não há razão para acreditar que dois gaussianos padrão sejam independentes.
Aqui está uma construção matemática simples. Suponha que e Y são duas variáveis normais padrão independentes. Então o parX Y
são duas variáveis normais padrão dependentes . Portanto, desde que sejam duas variáveis normais independentes , deve haver duas variáveis dependentes .
A segunda variável é normal porque qualquer combinação linear de variáveis normais independentes é novamente normal. O existe para tornar a variação igual a1.2–√ 1
Intuitivamente, eles são dependentes porque conhecer o valor de fornece informações adicionais que você pode usar para prever o valor da segunda variável. Por exemplo, se você souber que X = x , a expectativa condicional da segunda variável éX X=x
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Aqui está uma resposta bastante ampla:
Sejam conjuntamente variáveis aleatórias gaussianas (isto é, para quaisquer números reais a , b , a X + b Y tem uma distribuição gaussiana). Então, X e Y são independentes se e somente se E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] = 0 (ou seja, eles não estão correlacionados). Veja estas notas , por exemplo, para detalhes.X,Y a,b aX+bY X Y E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=0
Como você pode gerar variáveis aleatórias normais padrão que não são independentes? Escolha sua matriz favorita da forma forma que ( λ - 1 ) 2 - p 2 tenha raízes positivas em λ . Em seguida, aplique o decompositon Cholesky de Σ = R R T . Então, pegue duas variáveis aleatórias normais padrão independentes U , V e, em seguida, o vetor R [ U V ]Σ=[1pp1] (λ−1)2−p2 λ Σ=RRT U,V R[UV] possui componentes normais padrão, mas os componentes são independentes se e somente se .p=0
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Um exemplo normal não bivariado (como Michael Chernick sugere nos comentários):
Seja .fX,Y(x,y)={1πe−x2+y220xy≥0o.w.
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