Duas variáveis ​​aleatórias normais padrão são sempre independentes?

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Aprendi que a distribuição normal padrão é única porque a média e a variação são fixadas em 0 e 1, respectivamente. Por esse fato, pergunto-me se duas variáveis ​​aleatórias padrão devem ser independentes.

C.Hawk
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Por que eles deveriam ser ..? Independência não tem nada a ver com distribuição.
Tim
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Considere e . Eles não são independentes. XXX
djechlin
Você pode achar isso útil do ponto de vista prático. stats.stackexchange.com/questions/15011/...
JustGettinStarted
Além dos bons exemplos dados, considere geralmente uma distribuição normal bivariada com N (0 ,!) distribuições marginais. É possível ter qualquer correlação entre -1 e 1. Os exemplos abaixo são todos casos especiais. Como um aparte, é possível que duas variáveis ​​normais padrão sejam dependentes, mas não tenham uma distribuição bivariada.
Michael R. Chernick
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Percebo que Batman fornece um resultado geral que pode ser o mesmo que estou sugerindo. O caso Y = -X tem correlação -1 e, portanto, é uma forma degenerada de um normal bivariado. Não vi um exemplo aqui (neste post) que ilustra um caso que não seja normal bivariado.
Michael R. Chernick

Respostas:

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A resposta é não. Por exemplo, se é uma variável aleatória padrão, Y = - X segue as mesmas estatísticas, mas X e Y são claramente dependentes.XY=XXY

zap
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Não, não há razão para acreditar que dois gaussianos padrão sejam independentes.

Aqui está uma construção matemática simples. Suponha que e Y são duas variáveis ​​normais padrão independentes. Então o parXY

X,X+Y2

são duas variáveis ​​normais padrão dependentes . Portanto, desde que sejam duas variáveis ​​normais independentes , deve haver duas variáveis dependentes .

A segunda variável é normal porque qualquer combinação linear de variáveis ​​normais independentes é novamente normal. O existe para tornar a variação igual a1.21

V(X+Y2)=122(V(X)+V(Y))=1

Intuitivamente, eles são dependentes porque conhecer o valor de fornece informações adicionais que você pode usar para prever o valor da segunda variável. Por exemplo, se você souber que X = x , a expectativa condicional da segunda variável éXX=x

E[X+Y2X=x]=x2
Matthew Drury
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Aqui está uma resposta bastante ampla:

Sejam conjuntamente variáveis ​​aleatórias gaussianas (isto é, para quaisquer números reais a , b , a X + b Y tem uma distribuição gaussiana). Então, X e Y são independentes se e somente se E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] = 0 (ou seja, eles não estão correlacionados). Veja estas notas , por exemplo, para detalhes.X,Ya,baX+bYXYE[(XE[X])(YE[Y])]=0

Como você pode gerar variáveis ​​aleatórias normais padrão que não são independentes? Escolha sua matriz favorita da forma forma que ( λ - 1 ) 2 - p 2 tenha raízes positivas em λ . Em seguida, aplique o decompositon Cholesky de Σ = R R T . Então, pegue duas variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes U , V e, em seguida, o vetor R [ U V ]Σ=[1pp1](λ1)2p2λΣ=RRTU,VR[UV]possui componentes normais padrão, mas os componentes são independentes se e somente se .p=0

homem Morcego
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Um exemplo normal não bivariado (como Michael Chernick sugere nos comentários):

Seja .fX,Y(x,y)={1πex2+y22xy00o.w.

fX,Y(x,y)fX(x)fY(y)

homem Morcego
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