Limite a diferença entre Correlação de Spearman e Correlação de Kendall

Estou tentando provar ou refutar que a diferença entre a Correlação de Spearman e a Correlação de Kendall não passa de 1 (ou menos, quanto mais apertada, melhor).

Estou assumindo que não há laços.

Em uma tentativa de refutar o resultado usando um exemplo de contador, verifiquei todas as possibilidades de vetores com comprimento 8. Tive algumas fotos bonitas, mas nenhum exemplo de contador:

diferença:

A diferença nunca é superior a 0,4 neste caso, então acho que é verdade, mas não consegui provar.

correlation spearman-rho kendall-tau Pqqwetiqe
fonte

Existe um post muito interessante que pode ser uma duplicata parcial da sua pergunta. É "Kendall Tau ou rho de Spearman stats.stackexchange.com/questions/3943/kendall-tau-or-spearmans-rho?.

Michael R. Chernick

(1, n), (2, n - 1), \dots, (n, 1), (n + 1, 2 n), (n + 2, 2 n - 1), \dots, (2 n, n + 1)

$(1,n),(2,n-1),\ldots, (n,1),(n+1,2n),(n+2,2n-1),\ldots,(2n,n+1)$

2 n

$2n$

(1, n + 1), (2, n), \dots, (n + 1, 1), (n + 2, 2 n + 1), (n + 3, 2 n), \dots, (2 n + 1, n + 2)

$(1,n+1),(2,n),\ldots,(n+1,1),(n+2,2n+1),(n+3,2n),\ldots,(2n+1,n+2)$

2 n + 1

$2n+1$

n

$n$

\frac{2 (n - 2) ⌈ \frac{n}{2} ⌉ ⌊ \frac{n}{2} ⌋}{n (n^{2} - 1)},

$\frac{2 (n-2) \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }{n \left(n^2-1\right)},$

1 / 2

$1/2$

n \to \infty .

$n\to\infty.$

n (n^{2} - 1) / 4

$n(n^2-1)/4$

n

$n$

1 / 2

$1/2$

1 / 2

$1/2$

O (1 / n)

$O(1/n)$ R1:nfunction(x, y) mean(outer(x, x, '-') * outer(y, y, '-')) * 6 / (length(x)^2 - 1) function(x,y) mean(sign(outer(x, x, '-')) * sign(outer(y, y, '-'))) * (1 + 1/(length(x)-1))

Respostas:

Você pode olhar para este artigo ! E outros trabalhos desses autores. Não me lembro exatamente onde, mas já vi seu primeiro gráfico nos papéis deles, e algumas provas junto com ele. Acho que isso pode ser feito alavancando as cópulas (como Kendall tau e Spearman rho podem ser escritas como uma função da cópula subjacente entre as duas variáveis). Espero que ajude.

$C$ $(X,Y)$

$\tau(X,Y) = 4\int_0^1 \int_0^1 C(u,v) c(u,v) du dv - 1$

$[0,1]$

$\rho(X,Y) = 12 \int_0^1 \int_0^1 C(u,v) du dv - 3$

$|\tau - \rho| \leq \ldots$

microfone
fonte

O artigo é uma boa referência para as técnicas que ele exibe. No entanto, parece não conter um resultado que implicaria facilmente o conjecturado nesta questão. Isso ocorre principalmente porque seus resultados não são universais: eles se aplicam sob várias condições restritivas e, mesmo assim, apenas no limite quando a distribuição conjunta se aproxima da independência.

whuber