Limite a diferença entre Correlação de Spearman e Correlação de Kendall

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Estou tentando provar ou refutar que a diferença entre a Correlação de Spearman e a Correlação de Kendall não passa de 1 (ou menos, quanto mais apertada, melhor).

Estou assumindo que não há laços.

Em uma tentativa de refutar o resultado usando um exemplo de contador, verifiquei todas as possibilidades de vetores com comprimento 8. Tive algumas fotos bonitas, mas nenhum exemplo de contador:

diferença:

A diferença nunca é superior a 0,4 neste caso, então acho que é verdade, mas não consegui provar.

Pqqwetiqe
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1
Existe um post muito interessante que pode ser uma duplicata parcial da sua pergunta. É "Kendall Tau ou rho de Spearman stats.stackexchange.com/questions/3943/kendall-tau-or-spearmans-rho?.
Michael R. Chernick
1
(1,n),(2,n-1),,(n,1),(n+1,2n),(n+2,2n-1),,(2n,n+1)
2n
(1,n+1),(2,n),,(n+1,1),(n+2,2n+1),(n+3,2n),,(2n+1,n+2)
2n+1
2
n
2(n-2)n2n2n(n2-1),
1/2n.n(n2-1)/4
1
n
2
1/21/2O(1/n)R1:nfunction(x, y) mean(outer(x, x, '-') * outer(y, y, '-')) * 6 / (length(x)^2 - 1) function(x,y) mean(sign(outer(x, x, '-')) * sign(outer(y, y, '-'))) * (1 + 1/(length(x)-1))

Respostas:

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Você pode olhar para este artigo ! E outros trabalhos desses autores. Não me lembro exatamente onde, mas já vi seu primeiro gráfico nos papéis deles, e algumas provas junto com ele. Acho que isso pode ser feito alavancando as cópulas (como Kendall tau e Spearman rho podem ser escritas como uma função da cópula subjacente entre as duas variáveis). Espero que ajude.

C(X,Y)

τ(X,Y)=40 010 01C(você,v)c(você,v)dvocêdv-1

[0 0,1]

ρ(X,Y)=120 010 01C(você,v)dvocêdv-3

|τ-ρ|

microfone
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O artigo é uma boa referência para as técnicas que ele exibe. No entanto, parece não conter um resultado que implicaria facilmente o conjecturado nesta questão. Isso ocorre principalmente porque seus resultados não são universais: eles se aplicam sob várias condições restritivas e, mesmo assim, apenas no limite quando a distribuição conjunta se aproxima da independência.
whuber