Relacionando a para positivo, crescente e côncavo

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A chegada de fótons a um pixel em um sensor de imagem é uma variável aleatória distribuída de Poisson, de modo que a entrada possa ser modelada como uma Poisson rv .XPoisson(λ)

Como a entrada é Poisson, a média e a variância são iguais para que

E[X]Var[X]=1

Agora, quando a entrada de fóton é passada através de um sensor de imagem linear (câmera) para produzir uma saída digital, podemos tratar isso como uma transformação linear de modo que a saída seja .XYY=X/g

No caso deste sensor linear, eu posso extrair o `ganho de conversão ', ou seja, número de fótons necessários para produzir uma saída digital de um, representada como em unidades de (fótons / número digital), comog

E[Y]Var[Y]=E[X/g]Var[X/g]=1gE[X]1g2Var[X]=g

No entanto, agora considerar um sensor, onde o ganho de conversão depende linearmente da entrada, por exemplo, , onde e . Isso significa que o ganho é uma função crescente do sinal .Y=X/(aX+b)a>0b>0g(x)=ax+b

No caso deste sensor não linear, o ganho não pode mais ser encontrado a partir da razão entre a média e a variação na saída

E[Y]Var[Y]g(x)

De fato, o ganho de conversão medido é maior do que o ganho de conversão real para qualquer nível de sinal de entrada.

E[Y]Var[Y]>g(x)

Parte da explicação para isso é a desigualdade de Jensen, que afirma que, para uma crescente transformação côncava de alguma entrada aleatória , ou seja, :XY=f(X)

E[Y]=E[f(X)]f(E[X])

No meu caso, é de fato uma função côncava crescente, significando que a média medida na saída é menor que a média transformada da entrada. Como sabemos que o ganho medido na saída é superestimado e a média medida subestimada, isso implica que a variação medida é ainda mais subestimada que a média .Y=X/(aX+b)

Como posso provar isso ou escrever matematicamente isso? Existe uma generalização da desigualdade de Jensen para a variação? Posso mostrar exatamente por que o ganho está superestimado neste exemplo?

Aaron Hendrickson
fonte
Se é uma função de , ela mudou drasticamente de uma variável constante para uma variável aleatória, ou seja, uma função não constante. Então, como poderia permanecer igual à razão de duas quantidades constantes (média / variância)? Não vejo espaço para um entendimento "mais profundo". gX
Alecos Papadopoulos

Respostas:

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Não há relação entre as duas quantidades e para o côncavo . Aqui estão os exemplos para demonstrar isso:f(Var[X])Var[f(X)]f

  • Ex 1: Suponha variável aleatória tem o pmf: e , e . Obtemos e . Então, .XpX(0 0)=1 12pX(4)=1 12f(x)=xVar[f(X)]=1 1f(Var[X])=f(4)=2Var[f(X)]<f(Var[X])
  • Ex 2: Suponha que a variável aleatória seja a mesma de antes, ou seja, ela tem o : e , mas mudou para . Observe que ainda, mas agora . Então, .XpX(0 0)=1 12pX(4)=1 12ff(x)=x-100Var[f(X)]=1 1f(Var[X])=f(4)=2-100=-98Var[f(X)]>f(Var[X])
Amit
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Este é um bom ponto. No meu exemplo, eu não era tão específico quanto deveria. Estou interessado no caso de funções crescentes, positivas e côncavas. Existe um relacionamento sob essa classe de funções?
Aaron Hendrickson
Ex 3: Suponha que tenha um : , mas é . é igual a , mas . Portanto, . Verifique se nos exemplos 1 e 3, está aumentando de forma positiva e côncava. XpX(0 0)=pX(4)=1 12f(x)f(x)=100xVar[f(X)]10000f(Var[X])=200Var[f(X)]>f(Var[X])f
Amit