Relacionando a para positivo, crescente e côncavo

A chegada de fótons a um pixel em um sensor de imagem é uma variável aleatória distribuída de Poisson, de modo que a entrada possa ser modelada como uma Poisson rv .$X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$

Como a entrada é Poisson, a média e a variância são iguais para que

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}$$

Agora, quando a entrada de fóton é passada através de um sensor de imagem linear (câmera) para produzir uma saída digital, podemos tratar isso como uma transformação linear de modo que a saída seja .$X$$Y$$Y=X/g$

No caso deste sensor linear, eu posso extrair o `ganho de conversão ', ou seja, número de fótons necessários para produzir uma saída digital de um, representada como em unidades de (fótons / número digital), como$g$

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}$$

No entanto, agora considerar um sensor, onde o ganho de conversão depende linearmente da entrada, por exemplo, , onde e . Isso significa que o ganho é uma função crescente do sinal .$Y=X/(aX+b)$$a>0$$b>0$$g(x)=ax+b$

No caso deste sensor não linear, o ganho não pode mais ser encontrado a partir da razão entre a média e a variação na saída

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}$$

De fato, o ganho de conversão medido é maior do que o ganho de conversão real para qualquer nível de sinal de entrada.

$$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}$$

Parte da explicação para isso é a desigualdade de Jensen, que afirma que, para uma crescente transformação côncava de alguma entrada aleatória , ou seja, :$X$$Y=f(X)$

$$\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}$$

No meu caso, é de fato uma função côncava crescente, significando que a média medida na saída é menor que a média transformada da entrada. Como sabemos que o ganho medido na saída é superestimado e a média medida subestimada, isso implica que a variação medida é ainda mais subestimada que a média .$Y=X/(aX+b)$

Como posso provar isso ou escrever matematicamente isso? Existe uma generalização da desigualdade de Jensen para a variação? Posso mostrar exatamente por que o ganho está superestimado neste exemplo?

Não há relação entre as duas quantidades e para o côncavo . Aqui estão os exemplos para demonstrar isso:$f(\text{Var}[X])$$\text{Var}[f(X)]$$f$

• Ex 1: Suponha variável aleatória tem o pmf: e , e . Obtemos e . Então, .$X$$p_X(0) = \frac{1}{2}$$p_X(4) = \frac{1}{2}$$f(x) = \sqrt{x}$$\text{Var}[f(X)] = 1$$f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2$$\text{Var}[f(X)] < f(\text{Var}[X])$
• Ex 2: Suponha que a variável aleatória seja a mesma de antes, ou seja, ela tem o : e , mas mudou para . Observe que ainda, mas agora . Então, .$X$$p_X(0) = \frac{1}{2}$$p_X(4) = \frac{1}{2}$$f$$f(x) = \sqrt{x} - 100$$\text{Var}[f(X)] = 1$$f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2-100=-98$$\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$