Qual é a chance de um ano bissexto ter 53 domingos?
Conforme meu julgamento, será 2/7? Como 366 dias em um ano bissexto significa 52 semanas e mais 2 dias, portanto, a partir dos dois dias extras, a probabilidade de domingo é 2/7.
PS: Essa foi uma pergunta que encontrei em um livro de estatísticas básicas.
probability
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Manali Chatterjee
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tag - veja os comentários no centro de ajuda sobre problemas de rotina nas livrarias (discutidos na lição de casa , mas isso se aplica a qualquer problema de livro didático como este). Há esclarecimentos adicionais realmente necessários em relação ao ponto 2 (relacionados ao que é a população presumida e ao modelo de amostragem), embora se você citar diretamente a pergunta original, o esclarecimento necessário poderá então mudar para uma suposição necessária para uma resposta.Respostas:
O calendário gregoriano favorece cinco dos sete dias da semana durante os anos bissextos. Portanto, a chance não é precisamente .2/7
Este foi essencialmente o problema B3 no Concurso de Matemática Putnam de 1950 :
No calendário gregoriano , anos com múltiplos de são anos bissextos (com dias), mas anos com múltiplos de não são anos bissextos (e, portanto, têm dias), com exceção dos anos múltiplos de anos bissextos. (Muitos de nós lembramos da exceção mais recente em ) Isso cria um ciclo de anos contendo anos bissextos.4 7×52+2=366 100 7×52+1=365 400 2000 400 400/4−400/100+400/400=97
O que é especialmente interessante é que o número total de dias nesse ciclo é um múltiplo inteiro de sete:
Isso mostra que o ciclo de anos compreende um número inteiro de semanas. Consequentemente, o padrão de dias da semana é exatamente o mesmo de um ciclo para o outro.400
Podemos, portanto, interpretar a pergunta como pedindo a chance de domingos ao amostrar aleatoriamente e uniformemente qualquer ciclo de anos de anos bissextos. Um cálculo de força bruta (usando, digamos, o fato de que 1º de janeiro de 2001 era uma segunda-feira) mostra que dos anos bissextos em cada ciclo têm domingos. Portanto, a chance é400 28 97 5353 400 28 97 53
Observe que isso não é igual a : é um pouco maior. Aliás, há a mesma chance de quartas, sextas, sábados ou segundas-feiras e apenas de terças ou quintas-feiras.28/98=2/7 53 27/97 53
Para aqueles que desejam fazer cálculos mais detalhados (e podem desconfiar de qualquer simplificação matemática), aqui está o código de força bruta que calcula e examina todos os dias da semana por um determinado conjunto de anos. No final, exibe o número de anos com aparições de cada dia da semana. Está escrito em .53
R
Aqui está sua saída para o ciclo :2001−2400
Aqui está o próprio código.
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Sim, seu raciocínio está correto. A longo prazo, os anos bissextos têm quase a mesma probabilidade de começar em qualquer dia da semana. Portanto, a chance dos 2 dias extras, incluindo um domingo, é de cerca de 2/7.
w huber ressalta que uma peculiaridade do calendário gregoriano faz com que o dia inicial de um ano bissexto não seja distribuído de maneira bastante uniforme; portanto, a verdadeira probabilidade de 53 domingos é de 1% ou mais que 2/7. No entanto, 2/7 é quase certamente a resposta que os autores do seu livro de estatísticas pretendiam encontrar.
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