As informações de Fisher são definidas de duas maneiras equivalentes: como a variação da inclinação de e como o negativo da curvatura esperada de . Como o primeiro é sempre positivo, isso implicaria que a curvatura da função de probabilidade de logaritmo é negativa em todos os lugares. Isso me parece plausível, já que toda distribuição que eu vi tem uma função de probabilidade logarítmica com curvatura negativa, mas não vejo por que esse deve ser o caso.
Sua conclusão não se segue: se o valor esperado da curvatura da probabilidade logarítmica for negativo, não será necessariamente negativo em todos os lugares . Só precisa ser, em média, mais negativo do que positivo. Pense em uma distribuição bimodal: existe de fato uma região entre os modos com probabilidade de log curvada positivamente, portanto sua afirmação não pode ser verdadeira.
Observe o link com a estimativa de probabilidade máxima para intuição: na vizinhança do MLE, você pode esperar que a curvatura seja negativa porque está no máximo (embora não seja necessariamente, como se o máximo ocorre no limite, por exemplo) . Se a curvatura for negativa nas regiões mais prováveis, a média deverá tender a ser negativa, intuitivamente. De fato, sempre deve ser, nas condições de regularidade que permitem usar a equivalência com a definição de "variação da inclinação", como você indica.
Para algumas classes de funções de probabilidade, pode-se provar que a probabilidade é log-côncava , ou seja, que a probabilidade de log possui segundas derivadas em qualquer lugar, o que facilita muito a vida (por exemplo, você pode provar a existência de máximos globais exclusivos, use métodos especializados de otimização ...) Por exemplo,
Certamente também existem contra-exemplos (probabilidades que provavelmente não são côncavas). Por exemplo, qualquer probabilidade logarítmica bi ou multimodal não é côncava logarítmica ...