Qual é a razão pela qual usamos logaritmo natural (ln) em vez de logar na base 10 na especificação de funções em econometria?
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Qual é a razão pela qual usamos logaritmo natural (ln) em vez de logar na base 10 na especificação de funções em econometria?
Respostas:
No contexto da regressão linear nas ciências sociais, Gelman e Hill escrevem [1]:
[1] Andrew Gelman e Jennifer Hill (2007). Análise de dados usando modelos de regressão e multinível / hierárquico . Imprensa da Universidade de Cambridge: Cambridge; Nova York, pp. 60-61.
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Não há uma razão muito forte para preferir logaritmos naturais. Suponha que estamos estimando o modelo:
A relação entre logaritmos naturais (ln) e base 10 (log) é ln X = 2,303 log X (origem) . Portanto, o modelo é equivalente a:
ou, colocando um / 2.303 = a *:
Qualquer forma do modelo pode ser estimada, com resultados equivalentes.
Uma pequena vantagem dos logaritmos naturais é que seu primeiro diferencial é mais simples: d (ln X) / dX = 1 / X, enquanto d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (fonte) .
Para uma fonte de um livro de econometria que diz que qualquer forma de logaritmo pode ser usada, consulte Gujarati, Essentials of Econometrics 3ª edição, 2006, p.
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Eu acho que o logaritmo natural é usado porque o exponencial é frequentemente usado ao fazer o cálculo de juros / crescimento.
Se você estiver em tempo contínuo e que você está compondo interesses, você vai acabar tendo um valor futuro de uma certa quantia igual a (onde r é a taxa de juros e N o valor nominal da soma).F( t ) = N. er t
Como você termina exponencialmente no cálculo, a melhor maneira de se livrar dele é usando o logaritmo natural e, se você fizer a operação inversa, o log natural fornecerá o tempo necessário para atingir um certo crescimento.
Além disso, a coisa boa sobre logaritmos (naturais ou não) é o fato de que você pode transformar multiplicações em adições.
Quanto às explicações matemáticas de por que acabamos usando um exponencial ao compor juros, você pode encontrá-lo aqui: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding
Basicamente, você precisa adotar o limite para ter um número infinito de pagamentos de taxa de juros, que acaba sendo a definição de exponencial
Mesmo pensando, o tempo contínuo não é amplamente utilizado na vida real (você paga suas hipotecas com pagamentos mensais, e não a cada segundo ..), esse tipo de cálculo é frequentemente usado por analistas quantitativos.
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Uma razão adicional pela qual os economistas gostam de usar regressões com formas funcionais logarítmicas é econômica: os coeficientes podem ser entendidos como elasticidades de uma função de Cobb-Douglas. Essa função é provavelmente a mais comum usada entre economistas para analisar questões relacionadas ao comportamento microeconômico (preferências dos consumidores, tecnologia, funções de produção) e questões macroeconômicas (crescimento econômico). O termo elasticidade é usado para descrever o grau de resposta de uma mudança de uma variável em relação a outra.
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A única razão é que a expansão de Taylor fornece uma interpretação intuitiva do resultado.
Vamos aplicar a expansão de Taylor do log :
Portanto, se você estiver usando as diferenças de log do PIB no lado direito da equação, por exemplo, como uma variável explicativa na regressão, você pode ter o seguinte:
Economistas gostam das variáveis que podem ser interpretadas facilmente. Se você conectou a base de log diferente, a interpretabilidade é mais fraca. Por exemplo, veja o que acontece com a base de log 10:
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Há um bom motivo para usar a transformação de log da variável, se você acha que a função inversa do logaritmo é a função exponencial, que é uma versão contínua da configuração. A variável econômica que cresce em torno de 10% de cada vez pode ser transformada em variável com média em torno de 10 (mais uma constante). Você não pode fazer isso com a transformação do logaritmo de base diferente.
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