Eu acho que posso responder suas perguntas pelo menos a respeito das estimativas de repetibilidade não ajustadas , ou seja, as correlações intraclasses (ICCs) clássicas. Quanto às estimativas de repetibilidade "ajustadas", passei os olhos pelo artigo que você vinculou e realmente não vi onde a fórmula aplicada pode ser encontrada no artigo? Com base na expressão matemática, parece ser a repetibilidade das pontuações médias (em vez das pontuações individuais). Mas não está claro se essa é uma parte crítica da sua pergunta, então eu a ignorarei.
(1.) Os cálculos acima para obter a estimativa pontual da repetibilidade de um efeito fazem sentido?
Sim, a expressão que você propõe faz sentido, mas é necessária uma pequena modificação na fórmula proposta. Abaixo, mostro como é possível derivar o coeficiente de repetibilidade proposto. Espero que isso esclareça o significado conceitual do coeficiente e também mostre por que seria desejável modificá-lo um pouco.
Para começar, vamos primeiro pegar o coeficiente de repetibilidade no seu primeiro caso e esclarecer o que significa e de onde vem. Compreender isso nos ajudará a entender o segundo caso mais complicado.
Apenas interceptações aleatórias
Neste caso, o modelo de mistura para a th resposta no j th grupo é
y i j = β 0 + U 0 j + e i j ,
onde as intercepções aleatórios u 0 j possui variância σ 2 u 0 e os resíduos de e i j tem variância σ 2 e .Euj
yeu j= β0 0+u0 0j+eEuj,
você0 jσ2você0 0eeu jσ2e
Agora, a correlação entre duas variáveis aleatórias e y é definida como
c o r r = c o v ( x , y )xy
c o r r = c o v ( x , y)v a r ( x ) v a r ( y)----------√.
A expressão para o coeficiente de ICC / repetibilidade, em seguida, trata de deixar as duas variáveis aleatórias e y ser duas observações retirados do mesmo j grupo,
I C C = C O v ( β 0 + U 0 j + e i 1 j , p 0 + u 0 j + e i 2 j )xyj
e se você simplificar isso usando as definições dadas acima e as propriedades das variações / covariâncias (um processo que não mostrarei aqui, a menos que você ou outras pessoas prefiram que eu fiz), você termina com
ICC=σ 2 u 0
EuCC= c o v ( β0 0+ u0 j+ eEu1j, β0 0+ u0 j+ eEu2j)v a r ( β0 0+ u0 j+ eEu1j) v a r ( β0 0+ u0 j+ eEu2j)------------------------------√,
O que isso significa é que o ICC ou "coeficiente de repetibilidade não ajustado", neste caso, tem uma interpretação simples como a correlação esperada entre as observações de um par do mesmo cluster (líquido dos efeitos fixos, que neste caso é apenas a grande média). O fato de o TPI também ser interpretável como uma
proporção de variaçãoneste caso é coincidente; essa interpretação não é verdadeira em geral para ICCs mais complicados. A interpretação como algum tipo de correlação é o principal.
EuCC= σ2você0 0σ2você0 0+ σ2e.
Interceptações aleatórias e inclinações aleatórias
Agora, para o segundo caso, precisamos primeiro esclarecer o que exatamente se entende por "a confiabilidade dos efeitos (isto é, o efeito da soma do contraste de uma variável com 2 níveis)" - suas palavras.
Eujkx
yeu j k= β0 0+ β1xk+ u0 j+ u1 jxk+ eeu j k,
σ2você0 0σ2você1σvocê01eeu jσ2e
jEu
x| x1| = | x2| =x
yEu1j k2- yEu1j k1= ( β0 0- β0 0) + β1( xk2- xk1) + ( u0 j- você0 j) + u1 j( xk2- xk1)+ ( eEu1j k2- eEu1j k1)= 2 x β1+ 2 x u1 j+ eEu1j k2- eEu1j k1
yEu2j k2- yEu2j k1= 2 x β1+ 2 x u1 j+ eEu2j k2- eEu2j k1.
Plugging these into the correlation formula gives us
EuCC= c o v ( 2 x β1+ 2 x u1 j+ eEu1j k2- eEu1j k1, 2 x β1+ 2 x u1 j+ eEu2j k2- eEu2j k1)v a r ( 2 x β1+ 2 x u1 j+ eEu1j k2- eEu1j k1) v a r ( 2 x β1+ 2 x u1 j+ eEu2j k2- eEu2j k1)----------------------------------------------------√,
o que simplifica até
EuCC= 2 x2σ2você12 x2σ2você1+ σ2e.
Observe que o TPI é tecnicamente uma função de
x! No entanto, neste caso
x pode levar apenas 2 valores possíveis e o ICC é idêntico em ambos os valores.
Como você pode ver, isso é muito semelhante ao coeficiente de repetibilidade que você propôs na sua pergunta, a única diferença é que a variação aleatória da inclinação deve ser adequadamente dimensionada para que a expressão seja interpretada como um ICC ou "coeficiente de repetibilidade não ajustado". A expressão que você escreveu funciona no caso especial em que ox preditor é codificado ± 12√, mas não em geral.
(2.) Quando eu tenho várias variáveis cuja repetibilidade eu quero estimar, adicioná-las todas ao mesmo ajuste (por exemplo lmer(dv~(iv1+iv2|unit)+iv1+iv2
) parece produzir estimativas de repetibilidade mais altas do que criar um modelo separado para cada efeito. Isso faz sentido computacionalmente para mim, pois a inclusão de múltiplos efeitos tende a diminuir a variação residual, mas não tenho certeza de que as estimativas de repetibilidade resultantes sejam válidas. São eles?
Acredito que trabalhar com uma derivação semelhante à apresentada acima para um modelo com múltiplos preditores com suas próprias inclinações aleatórias mostraria que o coeficiente de repetibilidade acima ainda seria válido, exceto pela complicação adicional de que as pontuações de diferença em que estamos conceitualmente interessados agora temos uma definição ligeiramente diferente: a saber, estamos interessados na correlação esperada das diferenças entre médias ajustadas após o controle para os outros preditores do modelo.
Se os outros preditores forem ortogonais ao preditor de interesse (como em, por exemplo, um experimento equilibrado), eu pensaria que o coeficiente ICC / repetibilidade elaborado acima deve funcionar sem nenhuma modificação. Se eles não forem ortogonais, você precisará modificar a fórmula para levar isso em consideração, o que pode ser complicado, mas espero que minha resposta tenha dado algumas dicas sobre como isso pode ser.