Existe um exemplo de dois eventos causalmente dependentes sendo logicamente (probabilisticamente) independentes?

Dois eventos são independentes quando , estou tentando me aprofundar nessa definição e tentar reconciliá-la com nossa idéia intuitiva de independência no mundo real. Eu sinto que a equação pode ser alcançada por acidente, sem qualquer fundamento para uma independência real.$A,B$$P(A \cap B ) = P(A)P(B)$

Eu estava tentando construir um experimento mental para mostrar que independência probabilística não tem que significar independência causal. Por exemplo, considere os eventos exaustivos e mutuamente mutuantes:

• $A$ : não está chovendo
• $B$ : a grama não é verde
• $C$ : está chovendo e a grama é verde

Eu estava tentando atribuir probabilidades: maneira tão bacana que produza (está chovendo) e (a grama é verde) independente. Teríamos: E de nossa independência desejada: O que implica que: No entanto, isso acontece apenas se ou ; nesse caso, não há razão para falar sobre os eventos como tendo alguma causalidade.$P(A) := p, P(B) := q, P(C) = 1 - p - q$$A^c$$B^c$

$$P(A^c \cap B^c ) = P(C) = 1-p-q$$ $$P(A^c \cap B^c ) = P(A^c)P(B^c) = (1-P(A))(1-P(B)) = (1 - p)(1 - q)$$ $$1-p-q = (1 - p)(1 - q)$$ $p=0$$q=0$

Existe algum exemplo intuitivo e rápido do que eu estava tentando demonstrar? Eu estava a pensar em alguma variável ter uma influência causal sobre a , mas também em alguns terceira variável que tem o efeito oposto em . Isso significa que e são independentes, mas não consigo encontrar as ferramentas certas.$A$$B$$C$$B$$A$$B$

Considere uma porta OR exclusiva (XOR) que é um circuito eletrônico (porta lógica) com duas entradas e e uma saída que assumem valores no conjunto discreto . Pense nelas como variáveis booleanas (ou variáveis ​​aleatórias de Bernouiii, se quiser). é causalmente relacionado a e pela operação Exclusive-OR: se você é um Booleander ou se você é um Bernoullist. Seja como for, suponha que $X$$Y$$Z$$X,Y,Z$$\{0, 1\}$$Z$$X$$Y$

$$Z = X\oplus Y = X\bar{Y} \,\vee\, \bar{X}Y$$ $$Z = X(1-Y)+(1-X)Y= X + Y -2XY$$ $X$e são independentes (o que significa que para todos os em . Então, Tudo está correto até agora? Agora, suponha que . Então, é fácil verificar que também agora,. e são muito definitivamente causalmente relacionada: a saída de uma porta XOR não dependem de sua entrada (s) Mas, a. evento ocorre se e somente se o evento$Y$$P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)$$a,b$$\{0, 1\}$ $$\begin{align}P(Z=1) &= P(X\neq Y)\\ &=P(X=1, Y=0) + P(X=0, Y=1)\\ &= P(X=1)P(Y=0) + P(X=0)P(Y=1).\end{align}$$ $P(X=1) = P(Y=1)= \frac 12$$P(Z=1) = \frac 12$$Z$$X$ $\{Z=1,X=1\}$ $\{X=1, Y=0\}$ ocorre e, portanto, mostrando que os eventos causalmente relacionados e são de fato probabilisticamente independentes. Da mesma forma, e independentemente, de fato, os três eventos , e são pareado independente, mas não mutuamente independente desde que $$P(Z=1, X=1) = P(X=1,Y=0) = \frac 14 = P(Z=1)P(X=1) = \frac 12\times \frac 12$$ $\{Z=1\}$$\{X=1\}$$\{Z=1\}$$\{Y=1\}$$\{X=1\}$$\{Y=1\}$$\{Z=1\}$ $$P(X=1, Y=1, Z=1) = 0 \neq P(X=1)P(Y=1)P(Z=1) = \frac 18.$$

Assim, a dependência causal não precisa ser refletida na dependência probabilística ; é possível que eventos causalmente dependentes sejam probabilisticamente independentes. Também devo dizer que esta independência probabilística é puramente uma propriedade da probabilidade medida: se tomarmos ou para ser qualquer número entre outra do que a que Eu escolhi sorrateiramente acima, a independência probabilística desaparece e os eventos causalmente dependentes também são probabilisticamente dependentes.$P(X=1)$$P(Y=1)$$(0,1)$ $\frac 12$

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Antes que você pense que este é um exemplo excêntrico que dificilmente será encontrado na vida real, considere o padrão ouro na teoria e na prática estatística: três padrões normais variáveis aleatórias . Agora, suponha que a densidade de suas articulações não seja que é a densidade normal padrão (como seria o caso se fossem variáveis ​​aleatórias normais padrão mutuamente independentes ), mas sim$X,Y,Z$$f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ $\phi(x)\phi(y)\phi(z)$$\phi(\cdot)$$X,Y,Z$

$$f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z) & ~~~~\text{if}~ x \geq 0, y\geq 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y < 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y\geq 0, z < 0,\\ & \text{or if}~ x \geq 0, y< 0, z < 0,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}\tag{1}$$ Observe que , e não são um conjunto de três variáveis ​​aleatórias normais em conjunto (ou seja, elas não têm uma distribuição normal multivariada), mas pode ser demonstrado que qualquer uma dessas duas é de fato um par de variáveis independentes. variáveis ​​aleatórias normais padrão. Para detalhes da verificação, consulte a segunda metade desta resposta minha .$X$$Y$$Z$

Na modelagem causal, esse tipo de coisa é possível nos casos em que existem múltiplos efeitos causais, e eles se cancelam exatamente em um sentido probabilístico. Portanto, é possível que cause , mas também cause , e , e esses últimos eventos têm um efeito causal negativo em , de uma maneira que cancela exatamente o efeito causal direto de .$\mathcal{A}$$\mathcal{B}$$\mathcal{C}$$\mathcal{D}$$\mathcal{E}$$\mathcal{B}$$\mathcal{A}$

Nos modelos de causalidade probabilística, esse tipo de situação patológica é geralmente descartada por uma suposição de fidelidade , que assume que as relações probabilísticas são "fiéis" à estrutura causal subjacente e não se cancelam. Um manual básico sobre causalidade probabilística e a suposição de fidelidade pode ser encontrado na Enciclopédia de Filosofia de Stanford .

Exemplos podem ser criados à vontade, porque a causa diz respeito à verdade, mas a probabilidade diz respeito à lógica.

Suponha que seja um fato que e e causem . Agora considere as informações fornecidas . Então $A \in \mathcal{A}$$B \in \mathcal{B}$$A = x$$B = y$$\mathcal{I} \equiv \unicode{8220}\text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$}\unicode{8221}$

$$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(B = b | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}||\mathcal{B}|} \end{align}$$

porque independência é a distribuição máxima de entropia consistente com .$\mathcal{I}$

Os eventos são logicamente independentes, dados , apesar de serem causalmente dependentes.$\mathcal{I}$

Não faz sentido falar que os eventos são logicamente independentes na ausência de quaisquer premissas: a lógica requer premissas. As causas, por outro lado, existem independentemente de nossas suposições.

As idéias sobre causalidade, é claro, são elas mesmas lógicas e bastante distintas das causas em si. Portanto, se procurarmos comparar idéias causais sobre eventos com idéias lógicas sobre esses eventos, na verdade elas são a mesma coisa. Por exemplo, se tivermos , depois $\mathcal{I} \equiv \unicode{8220} \text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$ and $A = x$ causes $B = y$}\unicode{8221}$

$$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(B = b | A = a, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}|} \begin{cases} \delta_{b y} & A = x \\ \frac{1}{|\mathcal{B}|} & A \neq x \end{cases} \end{align}$$

então a lógica expressa a idéia causal.