Existe um exemplo de dois eventos causalmente dependentes sendo logicamente (probabilisticamente) independentes?

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Dois eventos são independentes quando , estou tentando me aprofundar nessa definição e tentar reconciliá-la com nossa idéia intuitiva de independência no mundo real. Eu sinto que a equação pode ser alcançada por acidente, sem qualquer fundamento para uma independência real.A,BP(AB)=P(A)P(B)

Eu estava tentando construir um experimento mental para mostrar que independência probabilística não tem que significar independência causal. Por exemplo, considere os eventos exaustivos e mutuamente mutuantes:

  • A : não está chovendo
  • B : a grama não é verde
  • C : está chovendo e a grama é verde

Eu estava tentando atribuir probabilidades: maneira tão bacana que produza (está chovendo) e (a grama é verde) independente. Teríamos: E de nossa independência desejada: O que implica que: No entanto, isso acontece apenas se ou ; nesse caso, não há razão para falar sobre os eventos como tendo alguma causalidade.P(A):=p,P(B):=q,P(C)=1pqAcBc

P(AcBc)=P(C)=1pq
P(AcBc)=P(Ac)P(Bc)=(1P(A))(1P(B))=(1p)(1q)
1pq=(1p)(1q)
p=0q=0

Existe algum exemplo intuitivo e rápido do que eu estava tentando demonstrar? Eu estava a pensar em alguma variável ter uma influência causal sobre a , mas também em alguns terceira variável que tem o efeito oposto em . Isso significa que e são independentes, mas não consigo encontrar as ferramentas certas.ABCBAB

Martin Drozdik
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Seus cálculos estão errados - A e B não são mutuamente desunidos!
Zahava Kor
@ZahavaKor Obrigado pelo seu comentário, no entanto, eu nunca disse que a grama é verde somente se chover. De qualquer forma, todo o exemplo está incorreto e é por isso que estou fazendo essa pergunta. Eu só queria compartilhar meus processos de pensamento até agora. Você tem algum bom exemplo?
Martin Drozdik
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A definição de independência probabilística pode ser expressa em termos de probabilidade condicional como P (B / A) = P (B), o que significa que saber que A aconteceu não altera a probabilidade de ocorrência de B. Como você espera encontrar um contra-exemplo? Isso é muito improvável (trocadilhos).
Zahava Kor
Não está claro o que você quer dizer com "influência causal". Não é (que eu saiba) um conceito probabilístico e, portanto, não está claro como ele deve se encaixar na teoria. Mas a dependência claramente funcional implica dependência probabilística: se é uma variável aleatória e , e são independentes se e somente se for uma função constante. Eu esperaria o mesmo de qualquer definição significativa de dependência causal. XY=f(X)XYf
Olivier
@ZahavaKor yupps, acabei de perceber o que você quer dizer com "não se desmotiva". Desculpe meu erro.
Martin Drozdik

Respostas:

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Considere uma porta OR exclusiva (XOR) que é um circuito eletrônico (porta lógica) com duas entradas e e uma saída que assumem valores no conjunto discreto . Pense nelas como variáveis booleanas (ou variáveis ​​aleatórias de Bernouiii, se quiser). é causalmente relacionado a e pela operação Exclusive-OR: se você é um Booleander ou se você é um Bernoullist. Seja como for, suponha que XYZX,Y,Z{0,1}ZXY

Z=XY=XY¯X¯Y
Z=X(1Y)+(1X)Y=X+Y2XY
Xe são independentes (o que significa que para todos os em . Então, Tudo está correto até agora? Agora, suponha que . Então, é fácil verificar que também agora,. e são muito definitivamente causalmente relacionada: a saída de uma porta XOR não dependem de sua entrada (s) Mas, a. evento ocorre se e somente se o eventoYP(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)a,b{0,1}
P(Z=1)=P(XY)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).
P(X=1)=P(Y=1)=12P(Z=1)=12ZX {Z=1,X=1} {X=1,Y=0} ocorre e, portanto, mostrando que os eventos causalmente relacionados e são de fato probabilisticamente independentes. Da mesma forma, e independentemente, de fato, os três eventos , e são pareado independente, mas não mutuamente independente desde que
P(Z=1,X=1)=P(X=1,Y=0)=14=P(Z=1)P(X=1)=12×12
{Z=1}{X=1}{Z=1}{Y=1}{X=1}{Y=1}{Z=1}
P(X=1,Y=1,Z=1)=0P(X=1)P(Y=1)P(Z=1)=18.

Assim, a dependência causal não precisa ser refletida na dependência probabilística ; é possível que eventos causalmente dependentes sejam probabilisticamente independentes. Também devo dizer que esta independência probabilística é puramente uma propriedade da probabilidade medida: se tomarmos ou para ser qualquer número entre outra do que a que Eu escolhi sorrateiramente acima, a independência probabilística desaparece e os eventos causalmente dependentes também são probabilisticamente dependentes.P(X=1)P(Y=1)(0,1) 12


Antes que você pense que este é um exemplo excêntrico que dificilmente será encontrado na vida real, considere o padrão ouro na teoria e na prática estatística: três padrões normais variáveis aleatórias . Agora, suponha que a densidade de suas articulações não seja que é a densidade normal padrão (como seria o caso se fossem variáveis ​​aleatórias normais padrão mutuamente independentes ), mas simX,Y,ZfX,Y,Z(x,y,z) ϕ(x)ϕ(y)ϕ(z)ϕ()X,Y,Z

(1)fX,Y,Z(x,y,z)={2ϕ(x)ϕ(y)ϕ(z)    if x0,y0,z0,or if x<0,y<0,z0,or if x<0,y0,z<0,or if x0,y<0,z<0,0otherwise.
Observe que , e não são um conjunto de três variáveis ​​aleatórias normais em conjunto (ou seja, elas não têm uma distribuição normal multivariada), mas pode ser demonstrado que qualquer uma dessas duas é de fato um par de variáveis independentes. variáveis ​​aleatórias normais padrão. Para detalhes da verificação, consulte a segunda metade desta resposta minha .XYZ

Dilip Sarwate
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Obrigado! Esta é uma ótima resposta e exatamente o que eu estava procurando. Impressionante!
Martin Drozdik 18/02/19
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@MartinDrozdik Mas a resposta que você já aceitou exclui exemplos patológicos e devido à falta de uma "suposição de fidelidade". Não tenho certeza do que exatamente é "infiel" no que escrevi na minha resposta acima (escolher variáveis ​​aleatórias de Bernoulli para ter o parâmetro que é o padrão na ausência de quaisquer noções preconcebidas é falta de fé?), Mas estou certo de que não tenho fé? não é um filósofo. 12
Dilip Sarwate
Um exemplo esclarecedor. A independência entre e ainda persiste, independentemente do valor de , desde que . A independência também vale para e , independentemente de . A independência neste exemplo, no entanto, depende da causa selecionada não ser suficiente. Mas mesmo causas suficientes podem ser probabilisticamente independentes de seus efeitos. XZP(X=1)P(Y=1)=12P(X=1)=1P(X=1)=0P(Y=1)
CarbonFlambe - Restabelece Monica
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Na modelagem causal, esse tipo de coisa é possível nos casos em que existem múltiplos efeitos causais, e eles se cancelam exatamente em um sentido probabilístico. Portanto, é possível que cause , mas também cause , e , e esses últimos eventos têm um efeito causal negativo em , de uma maneira que cancela exatamente o efeito causal direto de .ABCDEBA

Nos modelos de causalidade probabilística, esse tipo de situação patológica é geralmente descartada por uma suposição de fidelidade , que assume que as relações probabilísticas são "fiéis" à estrutura causal subjacente e não se cancelam. Um manual básico sobre causalidade probabilística e a suposição de fidelidade pode ser encontrado na Enciclopédia de Filosofia de Stanford .

Ben - Restabelecer Monica
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Exemplos podem ser criados à vontade, porque a causa diz respeito à verdade, mas a probabilidade diz respeito à lógica.

Suponha que seja um fato que e e causem . Agora considere as informações fornecidas . Então AABBA=xB=yIAA and BB

prob(A=a,B=b|I)=prob(A=a|I)prob(B=b|I)=1|A||B|

porque independência é a distribuição máxima de entropia consistente com .I

Os eventos são logicamente independentes, dados , apesar de serem causalmente dependentes.I

Não faz sentido falar que os eventos são logicamente independentes na ausência de quaisquer premissas: a lógica requer premissas. As causas, por outro lado, existem independentemente de nossas suposições.

As idéias sobre causalidade, é claro, são elas mesmas lógicas e bastante distintas das causas em si. Portanto, se procurarmos comparar idéias causais sobre eventos com idéias lógicas sobre esses eventos, na verdade elas são a mesma coisa. Por exemplo, se tivermos , depois IAA and BB and A=x causes B=y

prob(A=a,B=b|I)=prob(B=b|A=a,I)prob(A=a|I)=1|A|{δbyA=x1|B|Ax

então a lógica expressa a idéia causal.

CarbonFlambe - Restabelecer Monica
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