Primeiro, tenho uma pergunta sobre se a distribuição de Poisson é "estável" ou não. Muito ingênuo (e não tenho muita certeza sobre distribuições "estáveis"), calculei a distribuição de uma combinação linear de RVs distribuídos por Poisson, usando o produto do MGF. Parece que eu recebo outro Poisson, com parâmetro igual à combinação linear dos parâmetros dos RVs individuais. Então concluo que Poisson é "estável". o que estou perdendo?
Segundo, existem fórmulas de inversão para o MGF como existem para a função característica?
Respostas:
Combinações lineares de variáveis aleatórias de Poisson
Como você calculou, a função geradora de momento da distribuição Poisson com taxa é m X ( t ) = E e t X = e λ ( e t - 1 )λ
Agora, vamos nos concentrar em uma combinação linear de variáveis aleatórias de Poisson independentes e . Vamos . Então,X Y Z=aX+bY
Portanto, se tiver taxa e tiver taxa , obteremos e isso geralmente não pode ser escrito no formato para alguns menos que .X λx Y λy exp ( λ ( e t - 1 ) ) λ a = b = 1
Inversão de funções geradoras de momento
Se a função geradora de momento existe em uma vizinhança de zero, ela também existe como uma função de valor complexo em uma faixa infinita em torno de zero. Isso permite que a inversão pela integração do contorno entre em ação em muitos casos. De fato, a transformada de Laplace de uma variável aleatória não negativa é uma ferramenta comum na teoria do processo estocástico, particularmente para analisar os tempos de parada. Observe que para reais com valor . Você deve provar como exercício que a transformação Laplace sempre existe para para variáveis aleatórias não-negativas. T L ( s ) = m T ( - s ) s s ≥ 0L(s)=Ee−sT T L(s)=mT(−s) s s≥0
A inversão pode então ser realizada através da integral de Bromwich ou da fórmula de pós-inversão . Uma interpretação probabilística deste último pode ser encontrada como um exercício em vários textos clássicos de probabilidade.
Embora não esteja diretamente relacionado, você também pode estar interessado na seguinte nota.
A teoria associada é mais comumente desenvolvida para funções características, pois são totalmente gerais: elas existem para todas as distribuições sem restrições de suporte ou momento.
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As distribuições de Poisson são estáveis por soma. Eles não são trivialmente estáveis por combinação linear porque você pode acabar com valores não-inteiros. Por exemplo, se é Poisson, não é trivialmente Poisson.X X/2
Eu não estou ciente das fórmulas de inversão para MGF (mas @ cardinal parece ser).
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