Eu estou lendo o livro:
Bispo, Reconhecimento de Padrões e Aprendizado de Máquina (2006)
que define a família exponencial como distribuições do formulário (Eq. 2.194):
Mas não vejo restrições impostas a ou . Isso não significa que qualquer distribuição possa ser colocada neste formato, por escolha apropriada de e (na verdade, apenas uma delas deve ser escolhida corretamente!)? Então, como é que a família exponencial não inclui todas as distribuições de probabilidade? o que estou perdendo?
Finalmente, uma questão mais particular que me interessa é a seguinte: a distribuição de Bernoulli está na família exponencial ? A Wikipedia afirma que sim, mas como estou obviamente confuso sobre algo aqui, gostaria de ver o porquê.
Respostas:
Bem, uma consequência de sua definição: é que o suporte da família de distribuição indexada pelo parâmetro não depende de . (O suporte de uma distribuição de probabilidade é o (fechamento de) o menor conjunto com probabilidade 1, ou seja, onde a distribuição mora .) Portanto, basta dar um contra-exemplo de uma família de distribuição com suporte, dependendo do parâmetro, o exemplo mais fácil é a seguinte família de distribuições uniformes:
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Considere a distribuição não central de Laplace
A menos que você não consiga escrevercomo um produto interno entre e alguma função de .μ = 0 | x-μ | μ x
A família exponencial inclui a grande maioria das boas distribuições nomeadas que comumente encontramos, portanto, a princípio pode parecer que tem tudo de interesse, mas de maneira alguma é exaustiva.
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