A operação do acaso em um mundo determinístico

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No livro de Steven Pinker, Better Angels of Our Nature , ele observa que

Probabilidade é uma questão de perspectiva. Visto de perto, eventos individuais têm causas determinadas. Mesmo um lançamento de moeda pode ser previsto a partir das condições de partida e das leis da física, e um mago habilidoso pode explorar essas leis para lançar cabeças sempre. No entanto, quando reduzimos o zoom para ter uma visão grande angular de um grande número desses eventos, estamos vendo a soma de um vasto número de causas que às vezes se cancelam e às vezes se alinham na mesma direção. O físico e filósofo Henri Poincare explicou que vemos a operação do acaso em um mundo determinístico, quando um grande número de causas insignificantes resulta em um efeito formidável, ou quando uma pequena causa que foge do nosso conhecimento determina um grande efeito que não podemos perder .No caso de violência organizada, alguém pode querer começar uma guerra; ele espera o momento oportuno, que pode ou não vir; seu inimigo decide se envolver ou recuar; balas voam; bombas explodiram; Pessoas morrem. Todo evento pode ser determinado pelas leis da neurociência, da física e da fisiologia. Mas, no conjunto, as muitas causas que entram nessa matriz podem às vezes ser embaralhadas em combinações extremas. (p. 209)

Estou particularmente interessado na frase em negrito, mas dou o resto para o contexto. Minha pergunta: existem formas estatísticas de descrever os dois processos que Poincare descreveu? Aqui estão meus palpites:

1) "Um grande número de causas insignificantes resulta em um efeito formidável." O "grande número de causas" e "soma" soam para mim como o teorema do limite central . Mas (na definição clássica) da CLT, as causas precisam ser variáveis aleatórias, não efeitos determinísticos. O método padrão aqui é aproximar esses efeitos determinísticos como algum tipo de variável aleatória?

2) "Uma pequena causa que foge ao nosso conhecimento determina um grande efeito que não podemos perder." Parece-me que você poderia pensar nisso como uma espécie de modelo oculto de Markov . Mas as probabilidades de transição de estado (não observáveis) em um HMM são apenas isso, probabilidades, que por definição são mais uma vez não determinísticas.

probability central-limit-theorem intuition Andy McKenzie
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Pensamento interessante (+1).

Nos casos 1) e 2), o problema é o mesmo: não temos informações completas. E probabilidade é uma medida da falta de informação.

1) As causas insignificantes podem ser puramente determinísticas, mas quais causas particulares operam é impossível saber por um processo determinístico. Pense em moléculas em um gaz. As leis da mecânica se aplicam, então o que é aleatório aqui? A informação oculta para nós: onde está qual molécula com que velocidade. Portanto, o CLT se aplica, não porque existe aleatoriedade no sistema, mas porque existe aleatoriedade em nossa representação do sistema .

2) Há um componente de tempo no HMM que não está necessariamente presente neste caso. Minha interpretação é a mesma de antes, o sistema pode não ser aleatório, mas nosso acesso ao seu estado tem alguma aleatoriedade.

Edição : Eu não sei se Poincare estava pensando em uma abordagem estatística diferente para esses dois casos. No caso 1) conhecemos as varialbes, mas não podemos mensurá-las porque são muitas e são muito pequenas. No caso 2) não conhecemos as variáveis. Nos dois sentidos, você acaba fazendo suposições e modelando o mais observável possível e, com frequência, assumimos a Normalidade no caso 2).

Mas ainda assim, se houvesse uma diferença, acho que seria emergência . Se todos os sistemas fossem determinados por somas de causas insignificantes, todas as variáveis aleatórias do mundo físico seriam gaussianas. Claramente, este não é o caso. Por quê? Porque a escala é importante. Por quê? Como novas propriedades emergem de interações em menor escala, e essas novas propriedades não precisam ser gaussianas. Na verdade, não temos uma teoria estatística para emergências (até onde eu saiba), mas talvez um dia teremos. Justificar-se-á então uma abordagem estatística diferente para os casos 1) e 2)

gui11aume
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1

Obrigado pela resposta. Os dois concordam com o fato de não termos informações completas - essa é uma boa maneira de estruturá-las. No entanto, gostaria de ver uma resposta que distingue mais os dois casos. O que Poincaré estava pensando?

Andy McKenzie

Eu vejo sua preocupação. Editei minha resposta para tentar responder da melhor maneira possível.

precisa saber é o seguinte

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Eu acho que você está lendo muito na declaração. Tudo parece estar sob a premissa de que o mundo é determinístico e que os humanos o modelam probabilisticamente, porque é mais fácil aproximar o que está acontecendo desse modo do que passar por todos os detalhes da física e quaisquer outras equações matemáticas que o descrevam. Penso que houve um longo debate sobre determininismo versus efeitos aleatórios, particularmente entre físicos e estatísticos. Fiquei particularmente impressionado com as seguintes frases anteriores ao que você ousou. "Mesmo um lançamento de moeda pode ser previsto a partir das condições de partida e das leis da física, e um mago habilidoso pode explorar essas leis para jogar sempre." Quando eu era estudante de pós-graduação em Stanford, no final da década de 1970, Persi Diaconé, estatístico e mágico, e Joe Keller, físico, tentaram aplicar as leis da física a uma moeda para determinar qual seria o otucoma com base nas condições iniciais sobre se ou não, a cara está voltada para cima e exata; y como a força do dedo sacode na moeda. Eu acho que eles podem ter funcionado. Mas pensar que um mágico, mesmo com o treinamento mágico e o conhecimento estatístico de um persi diaconis, poderia jogar a moeda e fazer com que ela aparecesse sempre que é absurdo. Acredito que eles descobriram que é impossível replicar as condições iniciais e acho que a teoria do caos se aplica. Pequenas perturbações na condição inicial têm grandes efeitos no vôo da moeda e tornam o resultado imprevisível. Como estatístico, eu diria que, mesmo que o mundo seja um modelo estocástico determinístico, faça um trabalho melhor na previsão de resultados do que leis determinísticas complexas. Quando a física é simples, leis determinísticas podem e devem ser usadas. Por exemplo, a lei gravitacional de Newton funciona bem para determinar a velocidade que um objeto tem quando atinge o solo, sendo jogado 10 pés acima do solo e usando a equação d = gt você pode resolver o tempo necessário para concluir a queda com muita precisão, pois a constante gravitacional g foi determinada com um alto nível de precisão e a equação se aplica quase exatamente. $^2$

Michael R. Chernick
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Michael Chernick, você pode estar interessado neste artigo sobre Diaconis.

Ciano

Eu substituiria a frase "... os seres humanos modelam probabilisticamente porque é mais fácil aproximar o que está acontecendo dessa maneira ..." por "... os seres humanos modelam probabilisticamente porque é muito difícil incorporar os pequenos detalhes, que na maioria das vezes não importa, ... ". Além disso, você está adotando uma abordagem "prática" para uma questão mais filosófica / conceitual. A teoria do caos é apenas um problema "na prática" porque não temos representações arbitrariamente precisas de números. Outro problema das leis determinísticas é que elas geralmente dependem de coisas que não podemos medir.

probabilityislogic

1

Obrigado Cyan. Não vi esse artigo em particular, mas já vi vários outros sobre Persi e o conheci muito bem como um ex-professor assistente que me ensinou teoria das probabilidades e séries temporais quando estávamos no final dos vinte e no começo dos trinta, entre 1974 e 1978. . Também Persi mandou que eu e Michael Cohen (quando eu e Michael Cohen estivéssemos estudantes de pós-graduação) jogássemos dados em um pano centenas ou milhares de vezes para confirmar sua teoria sobre qual seria o viés para esse tipo de barbear.

Michael R. Chernick

1

Como qualquer bom experimentador, ele não nos disse que eles estavam barbeados e que não havia uma diferença tão grande na área para torná-lo visível aos olhos. é claro que se você quisesse trapacear um estabelecimento de jogo com dados raspados, não conseguiria se barbear tanto para torná-lo perceptível e ainda assim tão pouco que levaria uma eternidade para obter bons ganhos e evitar a ruína dos jogadores. É claro que tivemos alguma suspeita sobre o experimento, porque não fazia muito sentido tentar confirmar que cada lado chegava muito perto de 1/6 da época.

Michael R. Chernick

Também, fazer um experiente para mostrar que você pode influenciar uma moeda justa em favor das cabeças está longe de ser capaz de obter uma cabeça o tempo todo. Os estatísticos são usados pelas comissões da loteria para testar suas máquinas e garantir que elas sejam justas.

Michael R. Chernick

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$2^{-N}$ $2^N$

$N$ $a_n \sim b_n$ $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$

(\binom{N}{N f}) \sim \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- N H (f))

${N\choose Nf}\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-NH(f)\right)$

$H(f)=f\log\left(f\right)+(1-f)\log\left(1-f\right)$ $H(f)$ $\frac{1}{2}$

H (f) \approx - \log (2) + 2 (f - \frac{1}{2})^{2}

$H(f)\approx-\log\left(2\right)+2(f-\frac{1}{2})^2$

Então também temos:

(\binom{N}{N f}) \sim 2^{N} \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- \frac{2}{N} (N f - \frac{N}{2})^{2})

${N\choose Nf}\sim 2^N\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-\frac{2}{N}(Nf-\frac{N}{2})^2\right)$

$f$

probabilityislogic
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Obrigado. Eu acho que o OP não estava lendo muito para conectar a frase em negrito ao CLT. Mas posso ter certeza de que entendi isso corretamente? Você está dizendo que, para N grande, o número de combinações de N tomadas Nf por vez é aproximadamente igual à densidade normal, com o parâmetro de variação Nf (1-F) e o parâmetro médio N / 2? Além disso, isso é apenas uma propriedade matemática assintótica, sem conexão com a probabilidade? Isso é tão surpreendente quanto ver a versão De Moivre - LaPlace do teorema do limite central em ação usando o dispositivo quincunx!

Michael R. Chernick

Obrigado, é muito útil pensar na distribuição normal de maneira não probabilística. No entanto, eu não entendo 1) como esse primeiro limite surge e 2) em que ponto você está fazendo a expansão da série Taylor.

Andy McKenzie

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a_{n} \sim b_{n}

$a_n \sim b_n$

a_{n} / b_{n} \to 1

$a_n / b_n \to 1$

As edições estão melhorando. Ainda deve haver um termo ausente na primeira equação de exibição. :)

cardeal

\log (N)

$\log(N)$

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A citação do livro de Pinker e a idéia de um mundo determinístico ignoram completamente a Mecânica Quântica e o Princípio Incertavelmente de Heisenberg. Imagine colocar uma pequena quantidade de algo radioativo próximo a um detector e organizar as quantidades e distâncias para que haja 50% de chance de detectar uma deterioração durante um intervalo de tempo predeterminado. Agora conecte o detector a um relé que fará algo altamente significativo se um decaimento for detectado e opere o dispositivo uma vez e apenas uma vez.

Agora você criou uma situação em que o futuro é inerentemente imprevisível. (Este exemplo é extraído de um descrito por quem ensinou física no segundo ou segundo ano do MIT no meio dos anos 60.)

Emil Friedman
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A operação do acaso em um mundo determinístico

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