Qual é a diferença entre função geradora de momento e função geradora de probabilidade?

Estou confuso entre os dois termos "função geradora de probabilidade" e "função geradora de momento". Como esses termos diferem?

A função geradora de probabilidade é geralmente usada para variáveis ​​aleatórias com valor inteiro (não negativo), mas é realmente apenas um reempacotamento da função geradora de momento. Então os dois contêm a mesma informação.

Seja uma variável aleatória não negativa. Em seguida (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) a função de geração de probabilidade é definida como L ( z ) = E z X a função geradora momento e é M X ( t ) = E de e t X Agora defina para que . Então Portanto, para concluir, o relacionamento é simples: $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ e t = z L ( z ) = E z X = E ( E t ) X = E de e t X = H X ( t ) = H X ( log z ) L ( z ) = H X ( log z $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@ Carl escreve em um comentário sobre esta minha fórmula "... o que é verdade, exceto quando é falso", então eu preciso ter alguns comentários. Obviamente, a igualdade assume que ambos estão definidos, e um domínio para a variável precisa ser fornecido. Eu pensei que o post era claro o suficiente sem essas formalidades, mas sim, às vezes sou muito informal. Mas há outro ponto: sim, a função geradora de probabilidade é usada principalmente para funções de massa de probabilidade (argumento não negativo), de onde vem o nome. Mas não há nada na definição que assuma isso; ele também pode ser usado para qualquer variável aleatória não negativa! A título de exemplo, tomar a distribuição exponencial com uma taxa, podemos calcular $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ que pode ser usada para todos os fins, usamos a função de geração de momentos e você pode verificar se os relacionamentos entre as duas funções são cumpridos. Normalmente não fazemos isso, provavelmente é mais prático usar as mesmas definições com (possivelmente) negativas e também com variáveis ​​não-negativas. Mas não é forçado pela matemática.

Vamos definir primeiro e depois especificar a diferença.

1) Na teoria da probabilidade e na estatística, a função geradora de momento (mgf) de uma variável aleatória com valor real é uma especificação alternativa de sua distribuição de probabilidade.

2) Na teoria das probabilidades , a função geradora de probabilidade (pgf) de uma variável aleatória discreta é uma representação de uma série de potências (a função geradora) da função de massa probabilística da variável aleatória.

O mgf pode ser considerado como uma generalização do pgf. A diferença está entre outras coisas é que a função de geração de probabilidade se aplica a variáveis ​​aleatórias discretas, enquanto a função de geração de momento se aplica a variáveis ​​aleatórias discretas e também a algumas variáveis ​​aleatórias contínuas. Por exemplo, ambos podem ser aplicados à distribuição de Poisson, pois é discreta. De fato, eles produzem um resultado da mesma forma; . Somente o mgf se aplica a uma distribuição normal e nem o mgf nem o pgf se aplicam à distribuição de Cauchy, mas por razões ligeiramente diferentes.$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Como aponta @kjetilbhalvorsen, o pgf se aplica a variáveis ​​aleatórias não negativas, e não apenas a variáveis ​​aleatórias discretas. Portanto, a entrada atual da Wikipedia na função de geração de probabilidade tem um erro de omissão e deve ser aprimorada.