Quando a lei dos grandes números falha?

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A questão é simplesmente o que é afirmado no título: Quando a lei dos grandes números falha? O que quero dizer é: em que casos a frequência de um evento não tenderá à probabilidade teórica?

emanuele
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Respostas:

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Existem dois teoremas (de Kolmogorov) e ambos exigem que o valor esperado seja finito. O primeiro é válido quando as variáveis ​​são IID, o segundo, quando a amostragem é independente e a variação do satisfazXn

n=1V(Xn)n2<

Digamos que todos os tenham o valor esperado 0, mas sua variação é para que a condição obviamente falhe. O que acontece depois? Ainda é possível calcular uma média estimada, mas essa média não tenderá a 0 à medida que você amostrar cada vez mais fundo. Tende a se desviar cada vez mais à medida que você continua a amostragem.n 2Xnn2

Vamos dar um exemplo. Diga que é uniforme U ( - n 2 n , n 2 n ), de modo que a condição acima falhe epicamente.XnU(n2n,n2n)

n=1V(Xn)n2=n=1n222n+2121n2=13n=14n=.

Ao notar que

X¯n=Xnn+n1nX¯n1,

vemos por indução que a média calculada está sempre dentro do intervalo ( - 2 n , 2 n ) . Usando a mesma fórmula de n + 1 , que também ver que há sempre uma possibilidade maior do que 1 / 8 que ˉ X n + 1 se encontra fora ( - 2 n , 2 n ) . De fato, X n + 1X¯n(2n,2n)n+11/8X¯n+1(2n,2n) é uniformeL(-2n+1,2n+1)e encontra-se fora(-2n,2N)com uma probabilidade de1/4. Por outro lado,nXn+1n+1U(2n+1,2n+1)(2n,2n)1/4é em(-2n,2n)por indução, e por simetria é positiva com probabilidade1/2. A partir destas observações segue-se imediatamente que ˉ X n+1é superior a2nou menor do que-doisn, cada um com uma probabilidade maior do que1/16. Desde a probabilidade de que| ˉ X n+1| >nn+1X¯n(2n,2n)1/2X¯n+12n2n1/16 é maior do que 1 / 8 , não pode haver convergência para 0, quando n tende ao infinito.|X¯n+1|>2n1/8n

Agora, para responder especificamente a sua pergunta, considere um evento . Se eu entendi bem, você pergunta "em que condições a declaração a seguir é falsa?"A

limn1nk=1n1A(Xk)=P(XA),[P]a.s.

1AA 1A(Xk)=1XkA0XkX

Xk

XkX1knA

gui11aume
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Um comentário. Na wikipedia (página lnl), li que a não finitude da variante apenas desacelera a convergência do valor médio. É diferente do que você afirma?
Emanuele
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Vocês dois estão discutindo a mesma lei? A pergunta é sobre frequências de eventos, enquanto essa resposta parece focar na distribuição amostral de uma média . Embora exista uma conexão, ela ainda não apareceu explicitamente aqui, até onde eu sei.
whuber
@whuber True. Eu me concentrei demais no título da pergunta. Obrigado por apontar. Eu atualizei a resposta.
precisa
@ gui11aume não entendo "Vemos que a condição acima se manterá, porque a variação de uma função de indicador é delimitada acima por 1/4.". O que isso significa?
Emanuele
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Se eles são distribuídos de forma idêntica, mas não independentes, o limite em questão pode não existir.
cardeal