Quando a lei dos grandes números falha?

A questão é simplesmente o que é afirmado no título: Quando a lei dos grandes números falha? O que quero dizer é: em que casos a frequência de um evento não tenderá à probabilidade teórica?

Existem dois teoremas (de Kolmogorov) e ambos exigem que o valor esperado seja finito. O primeiro é válido quando as variáveis ​​são IID, o segundo, quando a amostragem é independente e a variação do satisfaz$X_n$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

Digamos que todos os tenham o valor esperado 0, mas sua variação é para que a condição obviamente falhe. O que acontece depois? Ainda é possível calcular uma média estimada, mas essa média não tenderá a 0 à medida que você amostrar cada vez mais fundo. Tende a se desviar cada vez mais à medida que você continua a amostragem.n $X_n$$n^2$

Vamos dar um exemplo. Diga que é uniforme U ( - n 2 n , n 2 n ), de modo que a condição acima falhe epicamente.$X_n$$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

Ao notar que

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

vemos por indução que a média calculada está sempre dentro do intervalo ( - 2 n , 2 n ) . Usando a mesma fórmula de n + 1 , que também ver que há sempre uma possibilidade maior do que 1 / 8 que ˉ X n + 1 se encontra fora ( - 2 n , 2 n ) . De fato, X n + $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$$(-2^n, 2^n)$ é uniformeL(-2n+1,2n+1)e encontra-se fora(-2n,2N)com uma probabilidade de1/4. Por outro lado,$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$$(-2^n, 2^n)$$1/4$é em(-2n,2n)por indução, e por simetria é positiva com probabilidade1/2. A partir destas observações segue-se imediatamente que ˉ X n+1é superior a2nou menor do que-doisn, cada um com uma probabilidade maior do que1/16. Desde a probabilidade de que| ˉ X n+1| $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$ é maior do que 1 / 8 , não pode haver convergência para 0, quando n tende ao infinito.$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$$1/8$$n$

Agora, para responder especificamente a sua pergunta, considere um evento . Se eu entendi bem, você pergunta "em que condições a declaração a seguir é falsa?"$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

$1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$$X$

$X_k$

$X_k$$X_1$$k$$n$$A$