A consistência é obviamente um estimador de propriedades natural e importante, mas há situações em que pode ser melhor usar um estimador inconsistente em vez de consistente?
Mais especificamente, existem exemplos de um estimador inconsistente que supera um estimador consistente razoável para todos os finitos (com relação a alguma função de perda adequada)?
estimation
consistency
MånsT
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Respostas:
Esta resposta descreve um problema realista em que um estimador consistente natural é dominado (superou todos os valores possíveis de parâmetros para todos os tamanhos de amostra) por um estimador inconsistente. Ele é motivado pela ideia de que a consistência é mais adequada para perdas quadráticas, portanto, o uso de uma perda que se afaste fortemente (como uma perda assimétrica) deve tornar a consistência quase inútil na avaliação do desempenho dos estimadores.
Suponha que seu cliente deseje estimar a média de uma variável (assumida como tendo uma distribuição simétrica) a partir de uma amostra iid , mas eles são avessos a (a) subestimá-la ou (b) superestimá-la .(x1,…,xn)
Para ver como isso pode resultar, adote uma função simples de perda, entendendo que, na prática, a perda pode diferir quantitativamente (mas não qualitativamente) dessa perda. Escolha as unidades de medida para que seja a maior superestima tolerável e defina a perda de uma estimativa quando a média verdadeira for igual a sempre que e igual a caso contrário.1 t μ 0 μ≤t≤μ+1 1
Os cálculos são particularmente simples para uma família normal de distribuições com média e variância σ 2 > 0 , para então a amostra média ˉ x = 1μ σ2>0 tem umadistribuiçãoNormal(μ,σ2/n). A média da amostra é um estimador consistente deμ, como é bem conhecido (e óbvio). EscrevendoΦpara a CDF normal padrão, a perda esperada da média da amostra é igual a1/2+Φ(-√x¯=1n∑ixi ( μ , σ2/ n) μ Φ :1/2vem da probabilidade de 50% que a média da amostra irá subestimar a média verdadeira eΦ(- √1 / 2 + Φ ( - N--√/ σ) 1 / 2 vem da chance de superestimar a verdadeira média em mais de1.Φ ( - n--√/ σ) 1
A perda esperada de é igual à área azul neste PDF normal padrão. A área vermelha mostra a perda esperada do estimador alternativo abaixo. Eles diferem substituindo a área azul sólida entre - √x¯ e0pela área vermelha sólida menor entre √- n--√/ (2σ) 0 0 e √n--√/ (2σ) . Essa diferença cresce à medida quenaumenta.n--√/ σ n
Um estimador alternativa dada por tem uma perda esperada de 2 Φ ( - √x¯+ 1 / 2 . A simetria e a unimodalidade das distribuições normais implicam que a perda esperada é sempre melhor do que a média da amostra. (Isto faz com que a média da amostrainadmissívelpara esta perda.) Na verdade, a perda esperada da média da amostra tem um limite inferior de1/2, enquanto a das converge alternativos para0comoncresce. No entanto, a alternativa claramente é inconsistente: comoncresce, que converge em probabilidade paraμ+1/2≠μ.2 Φ ( - n--√/ (2σ) )) 1 / 2 0 0 n n μ + 1 / 2 ≠ μ
Os pontos azuis mostram perda de e pontos vermelhos mostram perda de ˉ x + 1 / 2 como uma função do tamanho da amostra n .x¯ x¯+ 1 / 2 n
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