Freqüentemente, no curso de meu (auto) estudo de estatística, encontrei a terminologia " álgebra gerada por uma variável aleatória". Não entendo a definição na Wikipedia , mas o mais importante é que não entendo a intuição. Por que / quando precisamos de álgebras sigma geradas por variáveis aleatórias? Qual é o significado deles? Eu sei o seguinte:
- a -algebra em um conjunto é uma coleção não vazia de subconjuntos de que contém , é fechada sob complemento e sob união contável.
- introduzimos -algebras para criar espaços de probabilidade em infinitos espaços de amostra. Em particular, se é incontávelmente infinito, sabemos que podem existir subconjuntos incomensuráveis (conjuntos para os quais não podemos definir uma probabilidade). Portanto, não podemos apenas usar o conjunto de P ( Ω ) como nosso conjunto de eventos . Precisamos de um conjunto menor, que ainda seja grande o suficiente para que possamos definir a probabilidade de eventos interessantes, e possamos falar sobre convergência de uma sequência de variáveis aleatórias.
Em suma, acho que tenho uma compreensão intuitiva justa das álgebras . Gostaria de ter um entendimento semelhante para as álgebras geradas por variáveis aleatórias: definição, por que precisamos delas, intuição, um exemplo ...
probability
random-variable
sigma-algebra
DeltaIV
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Respostas:
Considere uma variável aleatória . Sabemos que nada mais é que uma função mensurável de em , onde são os conjuntos Borel da linha real. Por definição de mensurabilidade, sabemos que temosX X (Ω,A) (R,B(R)) B(R)
Mas, na prática, as pré-imagens dos conjuntos de Borel podem não ser todas mas podem constituir um subconjunto muito mais grosso. Para ver isso, vamos definirA
Usando as propriedades das pré-imagens, não é muito difícil mostrar que é uma álgebra sigma. Também segue imediatamente que , portanto é uma álgebra sub-sigma. Além disso, pelas definições, é fácil ver que o mapeamento é mensurável. é de fato a menor álgebra sigma que faz de uma variável aleatória, como todas as outras álgebras sigma desse tipo incluiriam pelo menosΣ Σ⊂A Σ X:(Ω,Σ)→(R,B(R)) Σ X Σ X Σ X. Pela razão de que estamos lidando com preimages da variável aleatória , que chamamos de a sigma-álgebra induzida pela variável aleatória .X Σ X
Aqui está um exemplo extremo: considere uma variável aleatória constante , ou seja, . Então é igual a ou dependendo de . A álgebra sigma assim gerada é trivial e, como tal, é definitivamente incluída em .X X(ω)≡α X−1(B), B∈B(R) Ω ∅ α∈B A
Espero que isto ajude.
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