A soma da combinação linear de produto de exponencial é exponencial

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Este problema surgiu em minha pesquisa: suponha que sejam distribuições exponenciais (ED) com média e permita que seja um número não negativo. É verdade que Isso passa na verificação de sanidade, pois o valor esperado de ambos os lados é igual a , e se deixarmos , o lado esquerdo será igual a , que é exponencial. Fora isso, não tenho certeza de como abordar esse problema, pois não sei como lidar com o produto de EDs.ViED1λ

k=0λkeλV0Vkk!ED?
1λ=0V0
Alex
fonte
como você garante que esta é uma afirmação verdadeira?
Zhanxiong
@Zhanxiong eu não estou totalmente certo se é verdade, que é por isso que estou perguntando se alguém pode fornecer uma prova (ou refutá-la se é falsa.)
Alex
ok, então você deve evitar o uso de "prove isso"
Zhanxiong
Meu mal, eu editei a pergunta.
19417 Alex
É a mesma taxa / parâmetro médio para os RVs exp? λ
Adamo

Respostas:

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Não é uma resposta completa, desculpe, mas algumas idéias (para desejar um comentário). Observe que o que você possui é um produto de variáveis ​​aleatórias iid, em que é uma variável aleatória (rv) com uma distribuição de poisson com o parâmetro . Isso pode ser usado para outra "verificação de sanidade", uma simulação (usando exponenciais da taxa 1):K+1Kλ

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

O resultado qqplot(não mostrado aqui) está longe de ser uma linha reta, portanto, isso não parece ser um exponencial da taxa 1. A média está correta, a variação é grande, há uma cauda direita muito mais longa do que para um exponencial. O que pode ser feito teoricamente? A transformação de Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform é adaptada a produtos de variáveis ​​aleatórias independentes. I computar apenas para o exponencial com taxa 1. A Mellin transformada de , em seguida, é H 1 ( s ) = E V s 0 = 0 x s e - xV0 modo que a transformação de Mellin de um produto de k + 1 exponencial iid é Dado que

M1(s)=EV0s=0xsexdx=Γ(s+1)
k+1
Mk+1(s)=Γ(s+1)k+1
K tem um A distribuição de Poisson com o parâmetro , a transformação de Mellin do produto aleatório de um número aleatório K + 1 fatores, é M ( s ) = E M K + 1 ( s ) = E Γ ( s + 1 )λK+1 , mas não consegue encontrar um inverso desta transformação. Mas note que seXé uma variável aleatória não negativa com a transformação de MellinMX(t), definindoY=logX, descobrimos que KY(t)=Eet
M(s)=EMK+1(s)=EΓ(s+1)K+1=Γ(s+1)eλk=0λkk!Γ(s+1)k=eλΓ(s+1)eλΓ(s+1)
XMX(t)Y=logX de modo a transformar Mellin deXé a função geradora momento do seu logaritmoY. Portanto, usando isso, podemos aproximar a distribuição deXcom os métodos de aproximação do ponto de sela.Como funciona a aproximação do ponto de sela? e pesquise neste site.
KY(t)=EetY=EetlogX=Eelog(Xt)=EXt=MX(y)
XYX
kjetil b halvorsen
fonte
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(+1) Mesmo o produto de dois exponenciais não tem uma densidade de forma fechada.
Xian
2
havia um post em SE mostrando que um produto de três exponenciais não tem momentos ou algo nesse sentido
Aksakal
1
Obrigado kjetil. Eu tinha certeza de que a resposta não era boa, mas essas são boas razões para isso.
19417 Alex
1
k
1
V0Vk