O limite da distribuição beta-binomial é binomial

Estou tentando entender a relação entre o beta-binomial e a distribuição binomial. Mais especificamente, estou tentando mostrar que o limite da distribuição beta-binomial, com é binomial quando a + b vai para o infinito. Estou tendo problemas para mostrá-lo. Qualquer dica útil seria muito útil.$p=a/(a+b)$$a+b$

Para isso, acredito que devo usar o limite da função $\text{beta}(a,b)$ como $a+b$ para o infinito. Isso existe? De acordo com uma resposta abaixo, isso não existe. Também hesito em usar o MGF, pois parece desagradável.

Existem pelo menos duas maneiras de ver isso.

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A interpretação da distribuição da urna pode ser mostrada como

A distribuição beta-binomial também pode ser motivada por meio de um modelo de urna para valores inteiros positivos de e , conhecido como modelo de urna Polya. Especificamente, imagine uma urna contendo red balls e black balls, onde são feitos sorteios aleatórios. Se uma bola vermelha é observada, duas bolas vermelhas são devolvidas à urna. Da mesma forma, se uma bola preta é sacada, duas bolas pretas são devolvidas à urna. Se isso for repetido vezes, a probabilidade de observar k bolas vermelhas segue uma distribuição beta-binomial com os parâmetros , e .$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$n$$n$$\alpha$$\beta$

No entanto, se for desprezível em comparação com o número de bolas na urna, adicionar algumas bolas de volta às urnas faz diferença insignificante para o próximo sorteio. Daqui resulta que a distribuição é simplesmente aquela do desenho com substituição, que é binomial.$n$

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Do ponto de vista algébrico, a distribuição é

$${n \choose k} \frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} .$$

Pelas propriedades da função Beta

$$B(x + 1, y) = B(x, y) \frac{x}{x + y}, \\ B(x, y + 1) = B(x, y) \frac{y}{x + y}$$

Especificamente,

$$B(i + \alpha, n - k + \beta) = B(i - 1 + \alpha, n - k + \beta) \frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta},$$

e para , levando em consideração a série de Taylor :$\alpha, \beta$$\frac{1}{1 + x}$

$$\frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta} = \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta) \left(1 + \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right)} \sim \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} \left(1 - \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right) \sim \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} .$$

Continuando isso,

$$\frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} \sim \frac{B(\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)} \left( \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\right)^k \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right)^{n - k} ,$$ e a distribuição é aproximadamente binomial.