O limite da distribuição beta-binomial é binomial

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Estou tentando entender a relação entre o beta-binomial e a distribuição binomial. Mais especificamente, estou tentando mostrar que o limite da distribuição beta-binomial, com é binomial quando a + b vai para o infinito. Estou tendo problemas para mostrá-lo. Qualquer dica útil seria muito útil.p=a/(a+b)a+b

Para isso, acredito que devo usar o limite da função beta(a,b) como a+b para o infinito. Isso existe? De acordo com uma resposta abaixo, isso não existe. Também hesito em usar o MGF, pois parece desagradável.

DanRoDuq
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O MGF (ou melhor, o CF) não é tão desagradável quanto pode parecer: é uma função hipergeométrica, o que significa que sua série de potências tem uma boa forma. No entanto, você pode aplicar a aproximação de Stirling à função Gamma para mostrar diretamente que a função de massa de probabilidade converge para a distribuição binomial.
whuber
Estou tentando através da fórmula de sterling. Para B (a, b), pareço entender algo sensato. No entanto, para B (k + a, n-k + b), não vejo como isso ajuda.
DanRoDuq 10/01

Respostas:

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Existem pelo menos duas maneiras de ver isso.


A interpretação da distribuição da urna pode ser mostrada como

A distribuição beta-binomial também pode ser motivada por meio de um modelo de urna para valores inteiros positivos de e , conhecido como modelo de urna Polya. Especificamente, imagine uma urna contendo red balls e black balls, onde são feitos sorteios aleatórios. Se uma bola vermelha é observada, duas bolas vermelhas são devolvidas à urna. Da mesma forma, se uma bola preta é sacada, duas bolas pretas são devolvidas à urna. Se isso for repetido vezes, a probabilidade de observar k bolas vermelhas segue uma distribuição beta-binomial com os parâmetros , e .αβαβnnαβ

No entanto, se for desprezível em comparação com o número de bolas na urna, adicionar algumas bolas de volta às urnas faz diferença insignificante para o próximo sorteio. Daqui resulta que a distribuição é simplesmente aquela do desenho com substituição, que é binomial.n


Do ponto de vista algébrico, a distribuição é

(nk)B(k+α,nk+β)B(α,β).

Pelas propriedades da função Beta

B(x+1,y)=B(x,y)xx+y,B(x,y+1)=B(x,y)yx+y

Especificamente,

B(i+α,nk+β)=B(i1+α,nk+β)i1+αi1+nk+α+β,

e para , levando em consideração a série de Taylor :α,β11+x

i1+αi1+nk+α+β=i1+ααα(α+β)(1+i1+nkα+β)i1+ααα(α+β)(1i1+nkα+β)α(α+β).

Continuando isso,

B(k+α,nk+β)B(α,β)B(α,β)B(α,β)(αα+β)k(βα+β)nk,
e a distribuição é aproximadamente binomial.
Ami Tavory
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Acho que estou tendo um problema com isso. Embora, para grandes e grandes a aproximação acima faça sentido intuitivamente, realmente para o limite convergir, deveríamos ter a condição de que . Com isso em mente, estou tendo problemas para justificar formalmente a última aproximação. Por exemplo, como posso mostrar que tende a p. α βp=α/(α+β)(α+k)/(α+k+β)
DanRoDuq
@DanRoDuq Expandi isso um pouco na resposta.
Ami Tavory