Dado três vectores de , , e , é possível que as correlações entre e , e , e e são todos negativos? Ou seja, isso é possível?
correlation
correlation-matrix
Antti A
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Respostas:
É possível se o tamanho do vetor for 3 ou maior. Por exemplo
As correlações são
Podemos provar que para vetores de tamanho 2 isso não é possível:
A fórmula faz sentido: se é maior que a 2 , b 1 deve ser maior que b 1 para tornar a correlação negativa.a1 a2 b1 b1
Da mesma forma, para correlações entre (a, c) e (b, c) obtemos
Claramente, todas essas três fórmulas não podem ser mantidas ao mesmo tempo.
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Sim eles podem.
So take the following exampleΣ=⎛⎝⎜1−0.2−0.2−0.21−0.2−0.2−0.21⎞⎠⎟
Its eigenvalues are all positive (1.2, 1.2, 0.6), and you can create vectors with negative correlation.
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let's start with a correlation matrix for 3 variables
non-negative definiteness creates constraints for pairwise correlationsp,q,r which can be written as
For example, ifp=q=−1 , the values of r is restricted by 2r≥r2+1 , which forces r=1 . On the other hand if p=q=−12 , r can be within 2±3√4 range.
Answering the interesting follow up question by @amoeba: "what is the lowest possible correlation that all three pairs can simultaneously have?"
Letp=q=r=x<0 , Find the smallest root of 2x3−3x2+1 , which will give you −12 . Perhaps not surprising for some.
A stronger argument can be made if one of the correlations, sayr=−1 . From the same equation −2pq≥p2+q2 , we can deduce that p=−q . Therefore if two correlations are −1 , third one should be 1 .
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A simple R function to explore this:
As a function of
n
,f(n)
starts at 0, becomes nonzero atn = 3
(with typical values around 0.06), then increases to around 0.11 byn = 15
, after which it seems to stabilize:So, not only is it possible to have all three correlations negative, it doesn't seem to be terribly uncommon (at least for uniform distributions).
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