Ponto técnico sobre convergência com expectativa condicional

Eu tenho uma sequência de variáveis não negativas , como: E ( X n | C n ) = C $X_n$

$$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$$

onde é uma sequência de variáveis ​​aleatórias convergindo quase certamente para .$C_n$$1$

Posso concluir que tende a 0 quase certamente?$X_n$

Nota: você pode substituir por qualquer sequência com soma finita. A questão permanece essencialmente a mesma e a resposta fornecida por Jason funciona da mesma forma (veja o argumento de Borel-Cantelli).$\frac{1}{n^2}$

Sim, quase com certeza. $X_{n} \to 0$O argumento que tenho é um pouco complicado, então tenha paciência comigo.

Primeiro, considere os eventos . Pela convergência quase certa de , segue-se que , e desde , temos . Portanto, basta mostrar que como dentro de , para qualquer .$F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$$C_{n}$$P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$$F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$$P(F_{k}) \to 0$$X_{n} \to 0$$F_{k}^{c}$$k$

Agora corrija um um . Usando a notação para representar , temos para Esse é o tipo da parte principal. (Observe também que usamos a não-negatividade de na primeira etapa, para passar de para o evento maior ) A partir daqui, precisamos apenas de alguns argumentos teóricos de medidas razoavelmente comuns.$k$$\varepsilon > 0$$E[X; A]$$E[X 1_{A}]$$n \geq k$

$$\begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation}$$ $X_{n}$$F_{k}^{c}$$C_{n} \leq 2$

O limite acima, juntamente com a não-negatividade de , implica que (para ), para que $X_{n}$$P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$$n \geq k$

$$\begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}$$

Pelo lema de Borel-Cantelli, agora podemos dizer que o evento tem probabilidade zero. Como era arbitrário, isso leva como em .

$$\begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation}$$ $\varepsilon$$X_{n} \to 0$$F_{k}^{c}$

Defina . Então e . Pela desigualdade de Markov, que possui soma finita, então por Borel Cantelli, e quase certamente.$Z_n=X_n/C_n$$E[Z_n]=1/n^2$$Z_n\ge 0$$P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$$P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$$Z_n\to 0$

Se quase certamente e quase certamente, quase certamente.$Z_n\to0$$C_n\to 1$$X_n=Z_nC_n\to 0$