Seja se se formar um triângulo. Então e cada . Isto é o que você usou para calcular o valor esperado.{ i , j , k } X = ∑ i , j , k Y i j k Y i j k ∼ B e r n o u l l i ( p 3 )Yijk=1{i,j,k}X=∑i,j,kYijkYijk∼Bernoulli(p3)
Para a variação, o problema é que os não são independentes. De fato, escreva
Precisamos calcular , que é a probabilidade de ambos os triângulos estarem presentes. Existem vários casos: X 2 = ∑ i , j , k ∑ i ' , j ′ , k ′ Y i j k Y i ′ j ′ k ′ . E [ Y i j k Y i ' j ′ k ′ ]Yijk
X2=∑i,j,k∑i′,j′,k′YijkYi′j′k′.
E[YijkYi′j′k′]
- Se (mesmos 3 vértices), então . Haverá esses termos na soma dupla.E [ Y i j k Y i ' j ' k ' ] = p 3 ( n{i,j,k}={i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p3(n3)
- Se os conjuntos e têm exatamente 2 elementos em comum, precisamos de 5 arestas presentes para obter os dois triângulos, de modo que . haverá esses termos na soma.{ i ' , j ′ , k ′ } E [ Y i j k Y i ' j ′ k ′ ] = p 5 12 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p512(n4)
- Se os conjuntos e têm 1 elemento em comum, precisamos de 6 arestas presentes, para que . Haverá desses termos na soma.{ i ' , j ' , k ' } E [ Y i j k Y i ' j ′ k ' ] = p 6 30 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p630(n5)
- Se os conjuntos e têm 0 elemento em comum, precisamos de 6 arestas presentes, para que . Haverá tais termos na soma.{ i ' , j ' , k ' } E [ Y i j k Y i ' j ′ k ' ] = p 6 20 ( n{i,j,k}{i′,j′,k′}E[YijkYi′j′k′]=p620(n6)
Para verificar se cobrimos todos os casos, observe que a soma total é .(n3)2
(n3)+12(n4)+30(n5)+20(n6)=(n3)2
Lembrando de subtrair o quadrado da média esperada, juntar tudo isso dá:
E[X2]−E[X]2=(n3)p3+12(n4)p5+30(n5)p6+20(n6)p6−(n3)2p6
Usando os mesmos valores numéricos do seu exemplo, o código R a seguir calcula o desvio padrão, que é razoavelmente próximo ao valor de 262 da sua simulação.
n=50
p=0.6
sqrt(choose(n, 3)*p^3+choose(n, 2)*(n-2)*(n-3)*p^5+(choose(n, 3)*choose(n-3, 3)+n*choose(n-1, 2)*choose(n-3, 2))*p^6-4233.6^2)
298.7945
O código do Mathematica a seguir também calcula o desvio padrão, que fornece o mesmo resultado.
mySTD[n_,p_]:=Sqrt[Binomial[n,3]p^3+12Binomial[n,4]p^5+30 Binomial[n,5]p^6+20Binomial[n,6]p^6-(Binomial[n,3]p^3)^2]
mySTD[50,0.6] // gives 298.795
Eu forneço uma abordagem ligeiramente diferente de derivar .X2
Com a mesma distinção entre casos que Robin Ryder:
Se ou seja, os 3 vértices são os mesmos, portanto, devemos escolher 3 vértices dentre n possíveis . Devemos ter 3 arestas presentes . Combinado:{i,j,k}={i′,j′,k′} ⇒(n3) ⇒p3 (n3)p3
Se e tiverem dois vértices em comum, isso significa nos quais e vice-versa (cada triângulo possui um vértice que não faz parte do outro triângulo). Imagine que e são os vértices disjuntos mencionados e = , = . Para atingir = , = , precisamos escolher os mesmos dois vértices dentre n possíveis . Para{i,j,k} {i′,j′,k′} ∃v∈{i,j,k} v∉{i′,j′,k′} v=k v′=k′ i i′ j j′ i i′ j j′ ⇒(n2) k≠k′ devemos escolher mais dois dos vértices que restam. Primeiro: e segundo: . Como as arestas e são as mesmas, precisamos ter 5 arestas presentes . Combinado:(n−2) (n−3) {i,j} {i′,j′} ⇒p5 (n2)(n−2)(n−3)p5
Se e tiverem apenas um vértice em comum, então 4 serão disjuntos. Imagine, wlog, que = . Isso significa que, dentre n possíveis vértices, devemos escolher 1 . Para o triângulo , escolhemos 2 vértices dos restantes . Para o triângulo escolhemos 2 dos restantes , isso se deve à suposição de que e . Como temos apenas um vértice em comum, precisamos ter 6 arestas presentes{i,j,k} {i′,j′,k′} i i′ ⇒n {i,j,k} (n−1)⇒(n−12) {i′,j′,k′} (n−3)⇒(n−32) j′∉{i,j,k} k′∉{i,j,k} ⇒p6 . Combinados:n(n−12)(n−32)p6
Para o último caso: Se e não têm vértice em comum, então os 2 triângulos são disjuntos. Escolhemos o primeiro triângulo, 3 vértices de n possíveis . E o segundo triângulo, 3 vértices dos restantes . Os triângulos são disjuntos, ou seja, eles não compartilham arestas e vértices, portanto, 6 arestas devem estar presentes . Combinado:{i,j,k} {i′,j′,k′} ⇒(n3) (n−3) ⇒(n−33) ⇒p6 (n3)(n−33)p6
Como na abordagem de Robin Ryder, também podemos verificar que:
Isto leva a:
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