Soma limitante das variáveis ​​gama iid

Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentemente e identicamente distribuídas com a função de densidade de probabilidade; Mostre que$X_1,X_2,\ldots$

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$$ $$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$$

O que eu tentei

À primeira vista, eu pensei que deveria usar a desigualdade de Chebyshev, pois a pergunta está fazendo mostrar um limite inferior $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . No entanto, pensei no sinal de limite que indica claramente que o problema pode estar de alguma forma relacionado ao Teorema Central do Limite (CLT)

Seja $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

$$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$$

Agora, usando CLT, para n grande $n$, $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Ou

$$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$$

Agora,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$$

Como $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , portanto, de $(1)$ ,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$$

Estou correcto?

Você estava certo de que a desigualdade de Chebyshev funcionaria. Ele fornece um limite um tanto grosseiro, mas eficaz, que se aplica a muitas dessas seqüências, revelando que a característica crucial dessa sequência é que a variação das somas parciais cresce no máximo linearmente com .$n$

Considere, então, o caso extremamente geral de qualquer sequência de variáveis ​​não correlacionadas com médias e variações finitas Seja a soma do primeiro deles,$X_i$$\mu_i$$\sigma_i^2.$$Y_n$$n$

$$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$$

Consequentemente, a média de é$Y_n$

$$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$$

e sua variação é

$$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$$

Suponha que cresça no máximo linearmente com :$s_n^2$$n$ ou seja, existe um número tal que, para todos os suficientemente grandes Seja (ainda a ser determinado), observe que$\lambda\gt 0$$n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$$k\gt 0$

$$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$$

e aplique Desigualdade de Chebyshev a para obter$Y_n$

$$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$$

As duas primeiras desigualdades são básicas: elas se seguem porque cada evento sucessivo é um subconjunto do anterior.

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No caso em questão, onde são independentes (e, portanto, não correlacionados) com médias e variações temos e$X_i$$\mu_i=3$$\sigma_i^2=3,$$m_n=3n$

$$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$$

onde podemos tomar tão pequeno quanto O evento na pergunta corresponde a em que$\lambda$$\sqrt{3}.$$3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$$k=3,$

$$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$$

QED.