Soma limitante das variáveis ​​gama iid

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Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentemente e identicamente distribuídas com a função de densidade de probabilidade; Mostre queX1,X2,

f(x)={12x2exif x>0;0otherwise.
limnP[X1+X2++Xn3(nn)]12

O que eu tentei

À primeira vista, eu pensei que deveria usar a desigualdade de Chebyshev, pois a pergunta está fazendo mostrar um limite inferior X1+X2++Xn . No entanto, pensei no sinal de limite que indica claramente que o problema pode estar de alguma forma relacionado ao Teorema Central do Limite (CLT)

Seja Sn=X1+X2++Xn

E(Sn)=i=0nE(Xi)=3n (since E(Xi)=3)V(Sn)=i=0nV(Xi)=3n (since V(Xi)=3 and Xi are i.i.d)

Agora, usando CLT, para n grande n, X1+X2+........+XnN(3n,3n)
Ou

z=Sn3n3nN(0,1) as n

Agora,

limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=limnP(Sn3n3n)=limnP(Sn3n3n3)=P(z3)=P(3z<0)+P(z0)=P(3z<0)+12(1)

Como P(3z<0)0 , portanto, de (1) ,

limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]12

Estou correcto?


fonte
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O CLT parece uma abordagem razoável, mas " "não faz sentido ..limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=P(Sn3n3n)
P.Windridge 25/04/19
Eu acho que deveria ser
limnP[X1+X2+........+Xn3(nn)]=limnP(Sn3n3n)=limnP(Sn3n3n3)=P(z3)
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Como alternativa, considere que iid e . A mediana de uma variável aleatória Gamma não é conhecida na forma fechada, mas é conhecido (cf. Wikipedia ) que, para grande , a mediana de uma variável aleatória fica entre e . Como , deve ser que pelo menos metade da massa de probabilidade esteja à direita de . X 1 + X 2 + + X n ~ Γ ( 3 N , 1 ) n Γ ( 3 N , 1 ) 3 n - 1XiΓ(3,1)X1+X2++XnΓ(3n,1)nΓ(3n,1) 3n3(n-3n133n 3(n-3(nn)<3n133(nn)
precisa saber é o seguinte

Respostas:

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Você estava certo de que a desigualdade de Chebyshev funcionaria. Ele fornece um limite um tanto grosseiro, mas eficaz, que se aplica a muitas dessas seqüências, revelando que a característica crucial dessa sequência é que a variação das somas parciais cresce no máximo linearmente com .n

Considere, então, o caso extremamente geral de qualquer sequência de variáveis ​​não correlacionadas com médias e variações finitas Seja a soma do primeiro deles,Xiμiσi2.Ynn

Yn=i=1nXi.

Consequentemente, a média de éYn

mn=i=1nμn

e sua variação é

sn2=Var(Yn)=i=1nVar(Xi)+2j>iCov(Xi,Xj)=i=1nσi2.

Suponha que cresça no máximo linearmente com :sn2n ou seja, existe um número tal que, para todos os suficientemente grandes Seja (ainda a ser determinado), observe queλ>0n, sn2λ2n.k>0

mknmkλsn,

e aplique Desigualdade de Chebyshev a para obterYn

Pr(Ynmnkn)Pr(Ynmnkλsn)Pr(|Ynmn|kλsn)1λ2k2.

As duas primeiras desigualdades são básicas: elas se seguem porque cada evento sucessivo é um subconjunto do anterior.


No caso em questão, onde são independentes (e, portanto, não correlacionados) com médias e variações temos eXiμi=3σi2=3,mn=3n

sn=3n,

onde podemos tomar tão pequeno quanto O evento na pergunta corresponde a em queλ3.3(nn)=μn3nk=3,

Pr(Yn3n3n)13 232=23>12,

QED.

whuber
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