Não precisa ser estendido. O teste Mantel original, como apresentado no artigo de Mantel em 1967 , permite matrizes assimétricas. Recorde-se que este teste compara dois distância matrizes X e Y .n × nXY
Neste ponto, podemos antecipar uma modificação de nossa estatística que simplificará os procedimentos estatísticos a serem desenvolvidos abaixo. A modificação é remover a restrição e substituí-la apenas pela restrição i ≠ j . Onde X i j = X j i e Y i j = Y j i , o efeito da modificação é simplesmente dobrar exatamente o valor da soma. Entretanto, os procedimentos então desenvolvidos são apropriados mesmo quando as relações de distância não são simétricas, ou seja, quando é possível que Xeu < ji ≠ jXeu j= Xj iYeu j= Yj i e o Y i j ≠ Y j i ; um caso particular então coberto é onde X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...Xeu j≠ Xj iYeu j≠ Yj iXeu j= - Xj i, Yeu j= - Yj i
(na seção 4; ênfase adicionada).
A simetria parece ser uma condição artificial em muitos softwares, como o ade4
pacote for R
, que usa objetos de uma classe "dist" para armazenar e manipular matrizes de distância. As funções de manipulação assumem que as distâncias são simétricas. Por esse motivo, você não pode aplicar seu mantel.rtest
procedimento a matrizes assimétricas - mas isso é puramente uma limitação de software, não uma propriedade do próprio teste.
O teste em si não parece exigir nenhuma propriedade das matrizes. Obviamente (em virtude da referência explícita a referências antissimétricas no final da passagem anterior), nem é necessário que as entradas em ou Y sejam positivas. É apenas um teste de permutação que usa alguma medida de correlação das duas matrizes (consideradas vetores com n 2 elementos) como estatística de teste.XYn2
Em princípio, podemos listar o possíveis permutações de nossos dados, calcule Z [a estatística de teste] para cada permutação e obtenha a distribuição nula de Z em relação à qual o valor observado de Z pode ser julgado.n !ZZZ
[ ibid. ]
De fato, Mantel apontou explicitamente que as matrizes não precisam ser matrizes à distância e enfatizou a importância dessa possibilidade :
Xeu jYeu jXeu k≤ Xeu j+ Xj kXeu jYeu j
(O exemplo indica a desigualdade do triângulo.)
nn - 1
Z= Σ Σ Xeu jYeu j, não assumindo com mais força que os elementos diagonais das matrizes são constantes, potencialmente diferentes de zero.
Concluindo, desde o início, todos os axiomas métricos foram explicitamente considerados e rejeitados como não essenciais ao teste:
"Distâncias" podem ser negativas.
"Distâncias" entre um objeto e ele próprio podem ser diferentes de zero.
A desigualdade do triângulo não precisa se sustentar.
"Distâncias" não precisam ser simétricas.
Terminarei comentando que a estatística proposta por Mantel, Z= ∑i , jXeu jYeu j, pode funcionar mal em distâncias não simétricas. O desafio é encontrar uma estatística de teste que efetivamente distinga duas dessas matrizes: use isso no teste de permutação em vez da soma dos produtos.
Este é um exemplo do teste em R
. Dadas duas matrizes de distância x
e y
, ele retorna uma amostra da distribuição de permutação (como um vetor de valores da estatística de teste). Ele não exige isso x
ou y
possui propriedades particulares. Eles só precisam ter o mesmo tamanho de matriz quadrada.
mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
permute <- function(z) {
i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
return (z[i, i])
}
sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}