Distribuição de

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Digamos, (com ) tem uma densidade . O que podemos dizer sobre a distribuição de XRnn>1fX(x)

Y=logfX(X)?
Taylor
fonte
4
Bem, isso vai depender do que é , não é? f
jbowman
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1. Você pode achar interessante começar considerando o mgf (ou mais geralmente, o cf) e ver o que você pode dizer disso; Como alternativa, se você estiver interessado em comportamento assintótico (em geral, n, principalmente ao lidar com independência), convém considerar o que é conhecido sobre os assintóticos de ... 2. Isso é para um exercício? 2logL
Glen_b -Reinstate Monica
4
Há um livro inteiro dedicado a isso, de Troutt et al. (1991) .
Xian

Respostas:

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O livro mencionado por Xi'an é de 2004. Refere-se a um artigo do ano de 1991 no qual o seguinte teorema aparece.

De: Troutt MD 1991 Um teorema da densidade das ordenadas de densidade e uma interpretação alternativa do método Box-Muller

Se uma variável aleatória X tiver uma densidade , , e se a variável aleatória tiver uma densidade , então onde é a medida de Lebesgue do conjuntof(x)xRnv=f(x)g(v)

g(v)=vA(v),
A(v)
S(v)={x:f(x)v}

Intuitivamente e não formal:

fZ(z)dz=P(z<Z<z+dz)=P(x(z)<X<x(z+dz))=P(x(z)<X<x(z)+dzdxdz)=fX(X)dxdzdz=zdA(z)dzdz

De maneira semelhante, quando usamos uma variável transformada então:Y=g(fx(x))

fY(y)dy=P(y<Y<y+dy)=P(x(y)<X<x(y+dy))=P(x(y)<X<x(y)+dydxdy)=fX(X)dxdydy=g1(y)dA(y)dydy

assim

fY(y)=eyA(y)dy

exemplo de distribuição normal padrão:

fX(x)=12πe0.5x2

y=log(2π)+0.5x2

A(y)=C8(ylog(2π))

portanto

fY(y)=2eyylog(2π)2

exemplo uma distribuição normal multivariada:

fX(x1,x2)=12πe0.5(x12+x22)

y=log(2π)+0.5(x12+x22)

A(y)=C2π(ylog(2π))

portanto

fY(y)=2πeyfor ylog(2π)

verificação computacional:

insira a descrição da imagem aqui

# random draws/simulation
x_1 = rnorm(100000,0,1)
x_2 = rnorm(100000,0,1)
y = -log(dnorm(x_1,0,1)*dnorm(x_2,0,1))

# display simulation along with theoretic curve
hist(y,breaks=c(0,log(2*pi)+c(0:(max(y+1)*5))/5),
     main = "computational check for distribution f_Y")
y_t <- seq(1,10,0.01)
lines(y_t,2*pi*exp(-y_t),col=2)
Sextus Empiricus
fonte
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A dificuldade com essa perspectiva é que a transformação depende de , em oposição a (na dimensão um). fX(X)XFX(X)
Xian